Конечнопорождённый идеал

Шаблон:Нет ссылок Конечнопорождённым идеалом $I$ ассоциативного кольца $R$ называется такой идеал, который порождается конечным числом своих элементов.

В случае, когда $R$ — кольцо с единицей, конечнопорождённость для одностороннего (например, правого) идеала $I$ кольца $R$ означает, что существует конечное множество элементов $i_1,\dots ,i_n\in I$ таких, что любой элемент из $I$ представим в виде суммы $i_1{a}_1+\dots +i_n{a}_n$, где $a_1,\dots ,a_n\in R$ — какие-то элементы кольца. Это определение полностью соответствует определению конечнопорождённого модуля над кольцом, если рассматривать правый идеал $I$ как правый модуль над кольцом $R$. Соответственно, двусторонний идеал будет конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов $i_1,\dots ,i_n\in I$ таких, что любой элемент из $I$ представим в виде суммы $a_1{i}_1{b}_1+\dots +a_n{i}_n{b}_n$, где $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n\in R$  — какие-то элементы кольца $R$.

В общем случае, когда кольцо $R$ не обязательно содержит единицу, правый идеал является конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов $i_1,\dots ,i_n\in I$ таких, что любой элемент из $I$ представим в виде суммы $i_1{a}_1+\dots +i_n{a}_n+m_1{i}_1+\dots +m_n{i}_n$, где $a_1,\dots ,a_n\in R$ — какие-то элементы кольца, $m_1,\dots ,m_n\in \mathbb{Z}$. Двусторонний идеал называется конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов $i_1,\dots ,i_n\in I$ таких, что любой элемент из $I$ представим в виде суммы $a_1{i}_1{b}_1+\dots +a_n{i}_n{b}_n+c_1{i}_1+\dots +c_n{i}_n+i_1{d}_1+\dots +i_n{d}_n+m_1{i}_1+\dots +m_n{i}_n$, где $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n,c_1,\dots ,c_n,d_1,\dots ,d_n\in R$ — какие-то элементы кольца $R$, $m_1,\dots ,m_n\in \mathbb{Z}$.

См. также

• Идеал