Модуль без кручения

Модуль без кручения — модуль $M$ над кольцом $K$, такой что из равенства $\alpha x=0$, где $\alpha$ — элемент $K$, не являющийся делителем нуля, и $x\in M$, следует $\alpha =0$ или $x=0$.

Примеры

• Целостное кольцо $K$ как $K$-модуль, а также все его ненулевые левые идеалы являются модулями без кручения.
• Модуль M над коммутативным кольцом K с полем частных Q является модулем без кручения тогда и только тогда, когда Tor₁(Q/K,M) = 0. В частности, все плоские модули являются модулями без кручения.
• Единственные конечно-порожденные модули без кручения над областью главных идеалов — это свободные модули.

Свойства

• Подмодуль модуля без кручения, а также прямая сумма и прямое произведение модулей без кручения — также модуль без кручения.
• Если кольцо $K$ коммутативно, то для любого модуля $M$ определен подмодуль

кручения

$Tor(M)=\{x\in M:\mathrm{\exists }\alpha \in K,\alpha -\text{неделитель нуля},\alpha x=0\}.$

Тогда фактормодуль $M/Tor(M)$ является модулем без кручения.

См. также

• Кручение (алгебра)

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Torsion-free_module, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Matlis, Eben (1972), Torsion-free modules, The University of Chicago Press, Chicago-London, MR0344237.