Стоимость денег с учётом фактора времени

Стоимость денег с учётом фактора времени (временна́я це́нность де́нег, стоимость денег во времени, теория временной стоимости денег, Шаблон:Lang-en) — концепция, в соответствии с которой сегодняшний денежный доход (расход) имеет большую ценность, чем завтрашний, при одинаковой сумме.

Утверждение о временной ценности денег является одним из основных положений финансовой математики. Различие в ценности связано с тем, что деньги могут быть инвестированы и принести доход. Поэтому собственник денег может требовать компенсацию неполученного дохода. Неполученный доход выступает в роли альтернативных издержек.

Сходная задача возникает в теории потребительского поведения и выбора. Потребителю необходимо выбрать между тем, какую часть текущего дохода потребить сегодня, а какую сберечь, чтобы потребить завтра. Оптимальный выбор потребителя рассматривается в теории межвременного выбора.

Общие принципы

Зависимость между ценностью денег и длительностью ожидания была очевидна уже в Средние века. Например, Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в 1202 г. писал, что «сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра». Это утверждение называют также «золотым» правилом бизнеса.

Согласно профессору Энтони А. Аткинсону, стоимость денег во времени — это альтернативная стоимость их использования. Деньги, как и любой товар, имеют ценность и могут приносить доход. Поэтому их ценность зависит от того, когда они расходуются или поступаютШаблон:Sfn. При выборе между вариантами вложений агенту приходится сравнивать ожидаемые будущие выгоды от каждого из вариантов. Возникают альтернативные издержки, связанные с принятием решения. При выборе конкретного варианта рациональный агент потребует компенсации упущенной выгоды от наилучшего варианта вложений. Компенсация должна быть тем больше, чем длиннее период, в течение которого придется ждать возврата инвестиций.

Деньги могут быть использованы также и для потребления, от которого собственник получает некоторую полезность. Отказ от полезности в пользу одного из вариантов инвестирования также требует компенсации.

Изменение ценности денег во времени приводит к двум важным выводам.

1. Фактор времени должен явным образом учитываться при принятии инвестиционных решений и проведении различных финансовых операций.
2. С точки зрения анализа долгосрочных финансовых операций, некорректно суммировать денежные величины, относящиеся к разным периодам времени.

Расчет стоимости денег

Дисконтирование

Основной операцией, которая помогает сравнивать разновременные потоки платежей, является операция дисконтирования. Обратная по отношению к ней операция называется компаундингом. В финансовом менеджменте для работы с денежными величинами, относящимися к разным периодам времени, используют операцию приведения этих денежных величин к одному периоду. Для этого потоки платежей пересчитывают по ставке дисконтирования на определенный период. Различают два вида стоимости.

1. Дисконтированная стоимость (PV, Шаблон:Lang-en), которая отражает сегодняшнюю ценность предстоящего платежа.
2. Будущая стоимость денег (FV, Шаблон:Lang-en), которая отражает ценность любого платежа (в том числе и сегодняшнего) на некоторую дату в будущем. В качестве будущей даты можно выбрать любую. Важно лишь, чтобы все платежи были пересчитаны к одному и тому же моменту времени. Обычно в качестве будущей даты выбирают конец рассматриваемого периода.

Дисконтированную стоимость также называют современной, или приведенной. Будущую стоимость называют наращенной.

Предположим, что агент выбирает между тем, чтобы вложить некоторую сумму $S$ в банк на год под номинальную процентную ставку $i$ и вложить ее в некоторый инвестиционный проект, который принесет выгоды в размере $CF$ через один год. Тогда агент согласится инвестировать, если выполнено условие $CF\ge S(1+i)$, которое можно записать следующим образом:

$\frac{CF}{1+i}\ge S$

Слева написана дисконтированная стоимость, которая должна быть не менее первоначальной суммы $S$, чтобы операция считалась выгодной. Формулу можно обобщить на случай, когда инвестиционный проект реализуется в течение нескольких периодов (лет, кварталов, месяцев), создает поток платежей и альтернативой является вложение под фиксированную ставку:

$\sum _{t=1}^T\frac{C{F}_t}{(1+i{)}^t}\ge S$

Если собственнику денег нужно ждать получения платежа в течение ряда периодов, то альтернативой могло быть вложение во вклад, предусматривающий капитализацию процентов. Проценты присоединяются к сумме вклада по окончании каждого периода и сами становятся источником дополнительного дохода в следующем периоде. Поэтому для расчета дисконтированной стоимости каждого платежа используется формула сложных процентов.

Ставка дисконтирования

Номинальная ставка по вкладу $i$ выступает в роли ставки дисконтирования. Если альтернативой является вложение не в банк, а в инвестиционный проект, то нужно использовать другую ставку дисконтирования, вычисление которой может потребовать дополнительных усилий и применения специальных методов. В частности, ставка должна учитывать всевозможные виды рисков, связанных с реализацией проекта. В качестве ставки дисконтирования может использоваться планируемая доходность инвестиционного проекта.

Минимально возможная ставка соответствует безрисковой доходности. В качестве ориентира в этом случае может служить ключевая ставка. Может также использоваться доходность по государственным облигациям со сроком погашения, соответствующим сроку проекта.

Дисконтированная стоимость аннуитетных платежей с ростом

Если денежные потоки аннуитетных платежей растут в (1+g) раз (ставка роста равна g), то их дисконтированная стоимость вычисляется по формуле:

$PV=\frac{C{F}_1}{(i-g)}[1-{\left(\frac{1+g}{1+i}\right)}^n]$,

где $C{F}_1$ — аннуитетный платеж, осуществляемый в первый период, $n$ — число периодов, $i$ — ставка дисконтирования, $PV$ — дисконтированная стоимость аннуитетных платежей.

Формула получается вычитанием формулы для расчета дисконтированной стоимости перпетуитета, начинающегося в году n из упрощенной формулы модели Гордона.

См. также

• Теория межвременного выбора
• Дисконтирование
• Ставка дисконтирования

Литература

• Шаблон:Книга