Дискретное преобразование Абеля

Шаблон:Значения Дискретным преобразованием А́беля называют следующее тождество:

\sum_{k = m}^{n} a_{k} b_{k} = a_{n} B_{n} - a_{m} B_{m - 1} - \sum_{k = m}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) B_{k},

где $n ⩾ m ⩾ 1$ , $(a_{k}), (b_{k}), (B_{k})$ — последовательности $(k \in ℕ)$ , при этом $B_{k} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{k}$ и $B_{0} = 0$ . Это преобразование было названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. В математическом анализе оно используется при доказательстве признака сходимости Дирихле.

Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.

Доказательство

Имеем

\begin{matrix} \sum_{k = m}^{n} a_{k} b_{k} & = \sum_{k = m}^{n} a_{k} (B_{k} - B_{k - 1}) = \\ = \sum_{k = m}^{n} a_{k} B_{k} - \sum_{k = m}^{n} a_{k} B_{k - 1} = \\ = \sum_{k = m}^{n} a_{k} B_{k} - \sum_{k = m - 1}^{n - 1} a_{k + 1} B_{k} = \\ = a_{n} B_{n} + \sum_{k = m}^{n - 1} a_{k} B_{k} - \sum_{k = m}^{n - 1} a_{k + 1} B_{k} - a_{m} B_{m - 1} = \\ = a_{n} B_{n} - a_{m} B_{m - 1} - \sum_{k = m}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) B_{k}, \end{matrix}

что и требовалось доказать.