Теорема об открытом отображении

Теорема об открытом отображении утверждает Шаблон:Рамка Линейный непрерывный оператор $A$, отображающий банахово пространство $X$ на все банахово пространство $Y$, является открытым отображением, то есть $A(G)$ открыто в $Y$ для любого $G$, открытого в $X$; Шаблон:Конец рамки

Условиям теоремы об открытом отображении удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве $X$ со значениями в $ℝ$ (или в $ℂ$).

Теорема доказана Стефаном Банахом. Из неё немедленно следует теорема Банаха о гомеоморфизме: Шаблон:Рамка Непрерывный линейный оператор $A$, отображающий взаимно однозначно банахово пространство $X$ на банахово пространство $Y$, является гомеоморфизмом, то есть $A^{-1}$ ― также линейный непрерывный оператор. Шаблон:Конец рамки

Обобщения

Теорема об открытом отображении допускает следующее обобщение: Шаблон:Рамка Непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное топологическое векторное пространство $X$ на бочечное пространство $Y$, есть открытое отображение. Шаблон:Конец рамки

См. также

• Теорема о замкнутом графике