Первообразный корень из единицы

Шаблон:Значения Первообразный корень (или примитивный корень) степени $m$ из единицы в поле $K$ ― это такой элемент $\xi \in K$, что ${\xi }^m=1$ и ${\xi }^{\ell }=1$ для любого натурального $\ell <m$.

Если $K$ ― поле комплексных чисел, то степени первообразного корня $\xi$ образуют циклическую группу корней порядка $m$ из единицы.

Свойства

• Если в поле $K$ существует первообразный корень степени $m$, то $m$ взаимно просто с характеристикой поля $K$.
• Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени, взаимно простой с характеристикой поля.
• Если $\xi$ ― первообразный корень степени $m$, то для любого $\ell$ взаимно простого с $m$, элемент ${\xi }^{\ell }$ также является первообразным корнем. Откуда, в частности, следует, что число всех первообразных корней степени $m$ (когда они существуют) равно значению функции Эйлера $\phi (m)$.
• В поле комплексных чисел первообразные корни степени m имеют вид:

  $e^{2\pi i\ell /m}=\cos \frac{2\pi \ell }{m}+i\sin \frac{2\pi \ell }{m}$,

  где $\ell$ взаимно просто с $m$.

• В конечном поле ${𝔽}_q$, где q — степень простого числа, первообразный корень степени $q-1$ является образующим (циклической) мультипликативной группы этого поля и называется примитивным элементом.

Литература

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Cite web