Алиасинг

Алиасинг, Элайсинг (Шаблон:Lang-en — наложение) — в обработке сигналов и изображений эффект, приводящий к наложению парциальных (частичных) спектров аналогового сигнала после его дискретизации при невыполнении условий теоремы Котельникова.

Происхождение алиасинга

В случае дискретизации аналогового сигнала, получается дискретный (дискретизированный) сигнал, значения которого следуют с частотой дискретизации $f_d$. Однако спектр любого дискретного сигнала является периодическим, причем период следования спектров равен частоте дискретизации $f_d$.

Согласно теореме Котельникова, аналоговый сигнал можно точно восстановить, зная его значения в отсчетные моменты времени, только в том случае, когда спектр аналогового сигнала финитен, то есть ограничен некоторой частотой $f_m$, и частота дискретизации больше или равна удвоенной частоте $f_m$: $f_d⩾2f_m$, что аналогично тому, что шаг дискретизации аналогового сигнала $\mathrm{\Delta }t$ более чем в два раза меньше $1/f_m$: $\mathrm{\Delta }t⩽1/(2f_m)$. В этом случае копии спектра аналогового сигнала, называемые парциальными или частичными спектрами, не перекрываются и с помощью идеального ФНЧ можно в идеале выделить центральный парциальный спектр, то есть на выходе фильтра получить сигнал в точности равный исходному аналоговому сигналу. Однако реальные фильтры не являются идеальными, поэтому на практике можно выделить сигнал лишь с некоторой погрешностью.

При невыполнении условий теоремы Котельникова возникает перекрытие парциальных спектров, называемое алиасингом. В этом случае восстановление аналогового сигнала по дискретным отсчётам невозможно. Также реально аналоговые сигналы финитны, то есть ограничены по времени, поэтому их спектры нефинитны, то есть не ограничены некоторой конечной частотой $f_m$. Поэтому даже в случае, когда выполняется условие $f_d⩾2f_m$, происходит наложение парциальных спектров друг на друга. Таким образом, высокочастотные составляющие от центрального парциального спектра накладываются на низкочастотные от соседних парциальных спектров или, другими словами, высокочастотные составляющие спектра аналогового сигнала в дискретном сигнале притворяются (от Шаблон:Lang-en — вымышленная личность, псевдоним) низкочастотными.

Поэтому на практике частоту дискретизации выбирают с некоторым запасом, например, $f_d>3f_m$ или $f_d=2,5...5f_m$. Также на практике эффект наложения спектров может быть уменьшен сглаживанием исходного аналогового сигнала путём фильтрации самых верхний его частот. При этом такое сглаживание (Шаблон:Lang-en) должно быть выполнено до дискретизации аналогового сигнала. Фильтры нижних частот, сглаживающие сигнал перед дискретизацией, называются антиалиасинговыми.

Алиасинг является одной из главных проблем при аналого-цифровом преобразовании видео- и аудиосигналов. Алиасинг в компьютерной графике — эффект «ступенчатости» изображения, против которого используются различные алгоритмы сглаживания.

Пример алиасинга

Алиасинг можно продемонстрировать на примере дискретизации бесконечно протяженного синусоидального сигнала с частотой меньшей удвоенной верхней частоты сигнала. Обозначим период исходного сигнала $T$, тогда несущая частота сигнала равна $f_0=1/T$. Так как сигнал не является ограниченным по времени, то в его спектре содержатся всего две частоты $-1/T$ и $1/T$. Таким образом, верхняя частота в спектре сигнала равна $f_m=f_0=1/T$.

Произведём дискретизацию такого сигнала с частотой $f_d$. В этом случае в спектре дискретного сигнала будут содержаться составляющие с частотами $-f_m+k{f}_d$, $f_m+k{f}_d$, где $k$ — целое, то есть с частотами:

$(...-f_m-2f_d,f_m-2f_d,-f_m-f_d,f_m-f_d,-f_m,f_m,-f_m+f_d,f_m+f_d,-f_m+2f_d,f_m+2f_d...)$.

Выберем $f_d=1.1f_m$. Тогда в спектре дискретного сигнала будут содержаться составляющие с частотами (упорядочены по возрастанию):

$(...-3.2f_d,-2.1f_m,-1.2f_m,-f_m,-0.1f_m,0.1f_m,f_m,1.2f_m,2.1f_m,3.2f_m...)$.

Следовательно, при использовании идеального ФНЧ с полосой пропускания $\mathrm{\Delta }f$, такой что $0.1f_m<\mathrm{\Delta }f<f_m$, из дискретного сигнала можно выделить синусоидальный сигнал с частотой $0.1f_m=0.1/T$, в то время как частота исходного синусоидального сигнала равна $1/T$.

Чтобы выделить сигнал с частотой $f_m=1/T$ дискретный сигнал необходимо пропустить через идеальный полосовой фильтр, полностью подавляющий все составляющие спектра, за исключение $f_m$.

Таким образом, получаем, что при использовании ФНЧ невозможно убрать из дискретного сигнала составляющую с частотой $0.1f_m$, то есть имеет место наложение спектров — алиасинг, который в данном случае заключается в попадании частоты $0.1f_m$ от первой копии спектра в диапазон частот $0...f_m$, в котором передаётся исходный синусоидальный сигнал.

На рисунке представлены исходный синусоидальный сигнал, например с частотой $f_0$ (красный цвет), дискретизированный сигнал с частотой $f_d=1.1f_0$ (черные точки), синусоидальный сигнал с частотой $0.1f_0$ (синий цвет).

Два разных синусоидальных сигнала, при дискретизации неотличимых: исходный высокочастотный с частотой $f_0$ (красный) и низкочастотный с частотой $0.1f_0$ (синий).

При выборе в соответствии с условием теоремы Котельникова $f_d=2f_m$ (ровно два отсчета за период) при дискретизации строго синусоидального сигнала может оказаться так, что все дискретные отсчёты станут равными нулю. В этом случае восстановление исходного сигнала станет невозможным. Следовательно, необходимо, чтобы частота дискретизации строго превышала удвоенную максимальную частоту сигнала $f_d>2f_m$. Однако такое строгое неравенство требуется лишь в том случае, когда значение спектра сигнала на максимальной частоте не равно нулю. Если на максимальной частоте спектр сигнала равен нулю, то необходимость в строгом неравенстве отпадает.

См. также

• Антиалиасинг
• Частота дискретизации
• Теорема Котельникова
• Частота Найквиста
• Ряд Котельникова