Гигантская компонента

Гигантская компонента — эффект, возникающий в схемах случайного размещения частиц по ячейкам при неограниченном росте количества частиц. Эффект заключается в том, что почти все частицы (в процентном отношении) собираются в одной ячейке.

Рассмотрим обобщенную схему размещения n частиц по N ячейкам:

${\eta }_1+\dots +{\eta }_N=n,(1)$

Обозначим через ${\eta }_{(1)}\le \dots \le {\eta }_{(N)}$ вариационный ряд случайных величин ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_N$. Таким образом, ${\eta }_{(N)}$ — максимальная компонента схемы (или максимальное число частиц в одной ячейке), а ${\eta }_{(N-1)}$ — следующая по величине компонента.

Если при $n\to \mathrm{\infty }$ случайная величина ${\eta }_{(N)}/n$ имеет предельное распределение, не имеющее накопления в нуле, а ${\eta }_{(N-1)}/n$ вырождается в ноль, то говорят, что в схеме размещения (1) возникает гигантская компонента.

Известно, например, что в классической схеме размещения гигантской компоненты нет, а в логарифмической схеме, описывающей длины циклов в случайной подстановке, гигантская компонента возникает при $n\to \mathrm{\infty }$ так, что $\ln (n)/N\to \mathrm{\infty }$, то есть при условии, что параметр $N$ растет медленнее, чем $\ln (n)$.