Замыкание (алгебра)

Шаблон:Другие значения В общей алгебре замыкание множества относительно заданного набора алгебраических операций — минимально возможное (то есть не содержащее других подобных) расширение заданного множества, в котором любое применение этих операций к элементам такого расширения не выходит за его пределы. Минимальное расширение всегда будет существовать как пересечение всех описанных расширений.

Формально, пусть $M$ — подмножество носителя $A$ некоторой алгебры $𝔄=⟨A,\mathrm{\Sigma }⟩$. Тогда замыканием множества $M$ относительно сигнатуры $\mathrm{\Sigma }$ называется минимальная подалгебра $⟨A_0,\mathrm{\Sigma }⟩\subseteq 𝔄$, содержащая $M$ ($M\subseteq A_0$).

Примеры:

• Замыканием множества $\{1\}$ относительно операции сложения будет множество всех натуральных чисел $\mathbb{N}$.
• Замыканием множества $\{1\}$ относительно операций сложения и вычитания будет множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$,
• Замыкание множества $\{0\}$ относительно сложения, умножения или обеих операций вместе совпадает с ним самим.

Множество, совпадающее со своим замыканием, называется алгебраически замкнутым (относительно заданного набора операций).

Примеры:

• Подгруппа замкнута относительно групповой операции.
• Подмножество натуральных чисел $\mathbb{N}$ в множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ замкнуто относительно операции сложения, но не является замкнутым относительно операции вычитания.

См. также

• Алгебраическое замыкание поля
• Замыкание отношения
• Оператор замыкания