Числа трибоначчи

Чи́сла трибона́ччи — последовательность целых чисел $\left\{t_n\right\}$, заданная с помощью линейного рекуррентного соотношения:

$t_0=0,t_1=0,t_2=1,t_{n+3}=t_{n+2}+t_{n+1}+t_n$.

Название является вариацией «чисел Фибоначчи» — с добавкой «три» (Шаблон:Lang-la), обозначающей количество суммируемых чисел.

Последовательность чисел трибоначчи начинается так:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415, 223317, 410744, 755476, 1389537, 2555757, 4700770, 8646064, 15902591, 29249425, 53798080, 98950096, 181997601, 334745777, … (Шаблон:OEIS)

Свойства

• При $n\to \mathrm{\infty }$ отношение соседних членов $\frac{t_{n+1}}{t_n}$ стремится к константе трибоначчи $C$ — действительному корню характеристического уравнения $x^3-x^2-x-1=0.$ Это число можно выразить в радикалах: $C=\frac{1}{3}[1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}]=1,839286755\dots$

Десятичные цифры образуют Шаблон:OEIS. Сопряжённые ему числа равны

$\begin{array}{cc}{C}_{2,3}& =\frac{1}{6}[2-\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}-\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}\pm i\sqrt{3}(\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}-\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}})]\\ & \approx 0,4196\pm 0,6063i.\\ \end{array}$

• Любой член ряда трибоначчи можно определить из соотношения, аналогичного формуле Бине для чисел Фибоначчи.$t_n=\frac{C^{n+2}}{(C-C_2)(C-C_3)}+\frac{C_2^{n+2}}{(C-C_2)(C_3-C_2)}+\frac{C_3^{n+2}}{(C-C_3)(C-C_3)}.$

Причём модули чисел $C_{2,3}$ меньше единицы, а значит, с возрастанием n последние два слагаемых становятся всё меньше по модулю и приближаются к нулю, так что при натуральных n

$t_n=\lfloor \frac{3b{C}^n}{b^2-2b+4}\rceil ,$

где $b={(586+102\sqrt{33})}^{1/3}$, а $\lfloor \cdot \rceil$ — округление до ближайшего целого.

См. также

• Обобщение чисел Фибоначчи
• Числа Фибоначчи

Ссылки

• Рекуррентное соотношение Шаблон:Wayback