Антисимметричное отношение

В математике бинарное отношение $R$ на множестве $X$ называется антисимметричным, если для каждой пары элементов множества $a,b$ выполнение отношений $aRb$ и $bRa$ влечёт $a=b$, или, то же самое, выполнение отношений $aRb$ и $bRa$ возможно только для равных $a$ и $b$. Формально, отношение $R$ антисимметрично, если $\mathrm{\forall }a,b\in X,aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$.

Не следует путать антисимметричное и асимметричное отношения. Бинарное отношение $R$ на множестве $X$ называется асимметричным, если для каждой пары элементов множества $a,b$ из $X$ одновременное выполнение отношений $aRb$ и $bRa$ невозможно. Формальная запись: отношение $R$ асимметрично, если $\mathrm{\forall }a,b\in X,aRb\Rightarrow \mathrm{\neg }(bRa)$.

Если в матрице, полученной в результате поэлементного умножения обычной и транспонированной матриц отношения, все элементы вне главной диагонали равны нулю, то отношение является антисимметричным.

См. также

• Симметричность