Полярон

Шаблон:Квазичастица Поляро́н — квазичастица в кристалле, состоящая из электрона и сопровождающего его поля упругой деформации (поляризации) решётки. Медленно движущийся электрон в диэлектрическом кристалле, взаимодействующий с ионами решётки через дальнодействующие силы, будет постоянно окружён областью решёточной поляризации и деформации, вызванной движением электрона. Двигаясь через кристалл, электрон проводит решёточную деформацию, потому можно говорить о наличии облака фононов, сопровождающего электрон. Характер поляризации и энергия связи электрона с решёткой отличаются в металлах, полупроводниках и ионных кристаллах. Это связано с типом связи и скоростью движения электронов в решётке.

Понятие о поляроне введено советским физиком С. И. Пекаром в 1946 году, им же впоследствии была развита их теорияШаблон:Sfn. Эта теория основывается на электростатическом взаимодействии электрона проводимости на длинноволновые оптические фононы.

Поляроны в металлах

Поляризация решётки осуществляется не всеми электронами, а только фермиевскими электронами. В простейшем случае, для квадратичной дисперсии и сферической поверхности Ферми, эффективная масса фермиевских электронов $m^{*}\approx m_0$ ($m_0$ — масса свободного электрона), а их скорость близка к скорости Ферми $v_F\approx 10^6$ м/с. Принято говорить, что электрон в кристаллической решётке окружён «облаком» виртуальных фононов с дебаевской частотой. Чем больше поляризация, тем больше рождается виртуальных фононов. и тем сильнее связь электрона с решёткой. Энергия связи электрона с решёткой определяется константой электрон-фононного взаимодействия $\lambda$:

$\lambda =\frac{1}{3}\frac{E_p}{\hslash {\omega }_D}.$

Коэффициент $1/3$ учитывает существование трёх ветвей спектра фононов, а ${\omega }_D$ — дебаевская частота.

Электрон-фононное взаимодействие приводит к тому, что масса полярона $m_p$ становится больше массы «голого» электрона $m^{*}$

$m_p\approx m^{*}(1+\lambda ).$

Таким образом, поляроны в металлах являются отрицательно заряженными с зарядом $-e$ и эффективной массой $m_p$Шаблон:Sfn.

Поляроны в полупроводниках

В полупроводниках с ковалентной связью продольные оптические колебания слабо влияют на электроны и дырки, так как кристаллическая решётка состоит из нейтральных атомов, и продольные колебания не поляризуют решётку. Константа электрон-фононного взаимодействия в таких веществах слишком мала ($\lambda \approx 0,002-0,01$) для образования поляронов, и параметры зонного спектра и носителей заряда в полупроводниках не перенормируются в результате поляронного взаимодействияШаблон:Sfn.

Поляроны в ионных кристаллах

Решётка ионных кристаллов образована положительно и отрицательно заряженными ионами, удерживаемыми вместе за счёт сил электростатического взаимодействия. Концентрация свободных электронов настолько мала, что электронный газ всегда невырожден, поэтому электроны и фононы находятся в тепловом равновесии. Поэтому при понижении температуры в ионных кристаллах может возникнуть автолокализация электронов в собственных потенциальных ямах за счёт притяжения к положительным ионам и отталкивания от отрицательных. При этом отрицательные и положительные ионы смещаются в противоположных направлениях, что эквивалентно возбуждению продольных оптических фононов, длина волны которых может варьироваться в широких пределах. Электроны эффективно взаимодействуют только с продольными оптическими колебаниями, длина волны которых больше расстояния, которое проходит электрон за период колебаний решётки, так как только в этом случае происходит изменение плотности кристалла, образование связанных электрических зарядов и поляризационного поляШаблон:Sfn.

Различают поляроны большого и малого радиуса. Чем сильнее электрон поляризует решётку, тем больше эффективная зона поляризации и больше эффективная масса полярона. Размер полярона определяется соотношением между размером возмущенной области кристалла (радиусом полярона $r_p$) и постоянной решетки $a$. Различают поляроны малого радиуса (при $r_p<a$), промежуточного радиуса ($r_p\approx a$), большого радиуса ($r_p\gg a$). Спин полярона не зависит от радиуса и равен 1/2.

Поляроны малого радиуса

Неподвижный электрон, помещённый в кристалл, поляризует кристаллическую решётку. Энергия поляризации равна

$E_p\approx -\frac{e^2}{{\epsilon }^{*}a},$

где $\frac{1}{{\epsilon }^{*}}=\frac{1}{{\epsilon }^{\mathrm{\infty }}}-\frac{1}{{\epsilon }^0}$, а ${\epsilon }^0$ и ${\epsilon }^{\mathrm{\infty }}$ — статическая и высокочастотная диэлектрические проницаемости соответственно. При характерных значениях ${\epsilon }^0\approx 10$, ${\epsilon }^{\mathrm{\infty }}\approx 3$, $a\approx 0,5$ нм энергия поляризации $E_p$ равна $\approx 0,3$ эВ.

Суммарная энергия полярона малого радиуса равна

$E_p+V=-\frac{e^2}{r_p{\epsilon }^{*}}$

где $V$ — потенциальная энергия локализованного электрона, а $r_p=\frac{{\pi }^2{\epsilon }^{*}{\hslash }^2}{m^{*}{e}^2}$ — характерный радиус полярона.

За счёт поляризации ионов решётки возбуждаются оптические фононы, поэтому эффективность поляризации можно характеризовать константой электрон-фононной связи $\lambda$, характеризующая число оптических фононов, возбуждённых в решётке. Если $W$ — ширина электронной зоны, характеризующая кинетическую энергию электронов, то полярон может образоваться лишь при условии $E_p>W$, и температура, ниже которой образуется полярон, задаётся соотношением

$T^{*}\approx \frac{|E_p-W|}{k_B}.$

Поэтому образование поляронов возможно только в достаточно узкозонных кристаллах с характерным значением $W\approx 0,2$ эВ. При образовании поляронов электронная зона сильно сужается и образуется поляронная зона шириной $W_p$, которую можно оценить по формуле

$W_p=W\exp (-\lambda ).$

При типичных энергиях полярона $E_p\approx 0,3$ эВ и оптического фонона $\hslash {\omega }_0\approx 0,3$ эВ величина $\lambda \approx 10$ и ширина поляронной зоны $W_p\approx W\exp (-10)=0,2e^{-10}$ эВ, что на четыре порядка меньше исходной электронной зоны. Поэтому такая узкая зона реализуется только в идеальных совершенных кристаллах, любые нарушения кристалличности приводят к локализации таких поляронов.

При $k_{B}T>\hslash {\omega }_0$ полярон малого радиуса перемещается термически активированными скачками с энергией активации порядка энергии полярона. Подвижность поляронов растёт приблизительно экспоненциально с ростом температурыШаблон:Sfn.

Поляроны большого радиуса

В отличие от поляронов малого радиуса, поляроны большого радиуса образуются в ионных кристаллах с широкой зоной проводимости $W\gg E_p$, и константа электрон-фононной связи определяется выражением

$\lambda =\frac{e^2\sqrt{m^{*}{\omega }_0}}{2{\omega }_0\epsilon {\hslash }^{3/2}}\approx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\sqrt{\frac{{\omega }_0}{W}}.$

При $\lambda >10$ образуется полярон большого радиуса, а при слабой электрон-фононной связи ($\lambda <1$) электрон поляризует решётку, но не локализуется в созданной им поляризационной яме. Расчёты дают выражения для массы и энергии полярона большого радиуса:

$m_p=\frac{m^{*}}{1-\lambda /6},E_p=-\lambda {\omega }_0.$

Для реальных кристаллов наиболее интересна область промежуточных значений $1<\lambda <10$. При этих значениях нельзя получить аналитических выражений, но численные расчёты показывают, что предыдущие две формулы справедливы до $\lambda \approx 6$. Полная энергия полярона большого радиуса равна

$E_0=-\frac{e^2}{r_p{\epsilon }^{*}},$

что в два раза меньше, чем аналогичная энергия для полярона малого радиусаШаблон:Sfn.

Подвижность поляронов

Поляроны большого радиуса не меняют качественно зонный спектр кристалла, их подвижность уменьшается обратно пропорционально увеличению их эффективной массы, перенормируются также их плотность состояний и скорость.

У поляронов малого радиуса подвижность сильно зависит от температуры. Если при низких температурах волновые функции поляронов перекрываются, то это приводит к образованию поляронной зоны с обычным зонным механизмом проводимости. При повышении температуры образуется система локализованных поляронов, и зонный механизм сменяется прыжковым. Прыжковую проводимость можно рассматривать как диффузную проводимость

$\mu \approx {\mu }_0\exp (-\frac{E_0}{2k_{B}T})$,

где ${\mu }_0\sim 1/T$Шаблон:Sfn.

Структура поляронов

В реальности поляроны имеют внутреннюю структуру, так как поляронные потенциальные ямы при сильном электрон-фононном взаимодействии образуются из набора оптических фононов с разными длинами волн. Поляронные ямы могут иметь несколько уровней энергии, соответствующих разным распределениям заряда и различным радиусам. Эти уровни могут размываться в зоны вследствие конечности времени существования полярона или в результате того, что параметры поляронных ям варьируются из-за неоднородности вещества. Также поляроны исчезают в сильных электрических полях, так как скорость полярона не может быть больше групповой скорости продольных оптических фононов. При увеличении дрейфовой скорости электрон отрывается от потенциальной ямы, и она исчезаетШаблон:Sfn.

Биполяроны

В некоторых веществах два полярона с одинаковыми зарядами могут взаимно связываться, образуя биполярон. Биполярон представляет собой квазичастицу, состоящую из двух электронов, лежащих в общей потенциальной яме. Заряд биполярона равен $+2e$ либо $-2e$ соответственно заряду объединившихся поляронов, а спин в основном $s$-состоянии равен нулю. То есть биполяроны могут образовывать бозе-конденсат, так как подчиняются статистике Бозе — ЭйнштейнаШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Каширина Н. И., Лахно В. Д. Математическое моделирование автолокализированных состояний в конденсированных средах. - Шаблон:М., Физматлит, 2014. - 292 с. - ISBN 978-5-9221-1530-8