Формула Лейбница (производной интеграла с параметром)

Шаблон:Значения Шаблон:Значения Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцирования. Формула названа в честь немецкого математика Готфрида Лейбница.

Формулировка

Пусть функция $f(x,y)$ непрерывна вместе со своей первой производной $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ на прямоугольнике $[\alpha ,\beta ]\times [c,d]$ (отрезок $[\alpha ,\beta ]$ включает в себя множества значений $a(y),b(y)$, a функции $a(y),b(y)$ дифференцируемы на $[c,d]$). Тогда интеграл $I(y)=\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}f(x,y)dx$ дифференцируем по $y$ на $[c,d]$ и справедливо равенство

$\frac{d}{dy}I(y)=\frac{d}{dy}\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}f(x,y)dx=f(b(y),y)\cdot \frac{d}{dy}b(y)-f(a(y),y)\cdot \frac{d}{dy}a(y)+\underset{a(y)}{\overset{b(y)}{\int }}\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)dx.$

Литература

• Шаблон:Книга