Теорема Гильберта 90

Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.

Мультипликативная форма

Пусть $G$ — группа Галуа конечного циклического расширения $E/K,$ а $\sigma$ - её образующая. Тогда норма любого элемента $\beta \in E$ равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент $\alpha \in E$, что $\beta =\frac{\alpha }{\sigma (\alpha )}.$

Доказательство

Достаточность очевидна: если $\beta =\frac{\alpha }{\sigma (\alpha )},$ то, учитывая мультипликативность нормы, имеем $N(\beta )=\frac{N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))}.$ Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех ${\sigma }_i(\alpha ),$ а применение $\sigma$ к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то $\frac{N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))}=\frac{N(\alpha )}{N(\alpha )}=1.$

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

$\mathrm{i}\mathrm{d}+\beta \sigma +\beta \sigma (\beta ){\sigma }^2+\dots +(\beta \sigma (\beta )\dots {\sigma }^{n-2}(\beta ){\sigma }^{n-1}).$

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент $\gamma \in E,$ для которого

$0\ne \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta ){\sigma }^2(\gamma )+\dots +(\beta \sigma (\beta )\dots {\sigma }^{n-2}(\beta ){\sigma }^{n-1}(\gamma ).$

Если применить отображение $\sigma$ к $\alpha ,$ а потом помножить полученное выражение на $\beta ,$ то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как $\beta \sigma (\beta )\dots {\sigma }^{n-2}(\beta ){\sigma }^{n-1}(\beta )=N(\beta )=1.$

Тогда получаем, что $\beta \sigma (\alpha )=\alpha ,$ деля на $\sigma (\alpha )\ne 0$ имеем $\beta =\frac{\alpha }{\sigma (\alpha )}.$ Необходимость доказана.

Аддитивная форма

Пусть $G$ — группа Галуа конечного циклического расширения $E/K,$ а $\sigma$ - её образующая. Тогда след элемента $\beta \in E$ равен 0 тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой элемент $\alpha \in E,$ что $\beta =\alpha -\sigma (\alpha ).$

Доказательство достаточности полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости рассматриваем элемент $\gamma \in E,$ для которого $\mathrm{t}\mathrm{r}\gamma \ne 0$ и строим требуемое $\alpha$ в виде:

$\alpha =\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{r}\gamma }[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta )){\sigma }^2(\gamma )+\dots +(\beta +\dots +{\sigma }^{n-2}(\beta )){\sigma }^{n-1}(\gamma )|.$

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Шаблон:Нп3