Теорема Лебега о разложении меры

Вводные определения

Пусть $F$ — монотонно неубывающая функция, непрерывная слева и такая, что $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)<+\mathrm{\infty }$. Введём на полукольце всех промежутков вида $[a,b)$ меру $m$ по следующему правилу: $m[a,b)=F(b)-F(a)$. Эту меру можно продолжить на борелевскую сигма-алгебру. При этом меры промежутков с концами $a,b$ будут заданы следующим образом.

$m[a,b)=F(b)-F(a)$,

$m(a,b)=F(b)-F(a+0)$,

$m(a,b]=F(b+0)-F(a+0)$,

$m[a,b]=F(b+0)-F(a)$,

Здесь $F(a+0)$ - правосторонний предел функции $F(x)$ в точке $a$ (он существует, поскольку функция $F(x)$ неубывающая).

Мера $m$ может быть продолжена на подмножества числовой прямой по Лебегу. При этом получится ${\mu }_F$ — мера Стилтьеса.

Частные случаи производящей функции $F$:

• $F$ — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество $A$ — из конечного или счётного числа точек (скаляров).

${\mu }_F(A)=\sum _{x_i\in A}{h}_i$ — дискретная мера.

• Функция F непрерывна, монотонно не убывает на $[a,b]$, на $(a,b)$ $F^{\prime }(x)=f(x)$.

${\mu }_F(A)=\underset{A}{\int }f(x)dx$ — абсолютно непрерывная мера.

• $F$ — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение $F$ равно 1 на всём отрезке, но почти всюду $const$). Мера сосредоточена в точках роста функции.

Теорема разложения меры

Шаблон:Рамка Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной. Шаблон:Конец рамки