Повторный предел

К функции нескольких переменных $f(x_1,\dots ,x_n)$ можно применить предел по одной из переменных $x_k$ при фиксированных значениях остальных переменных. Повторный предел — результат выполнения такой операции по каждой переменной.

В то время как предел функции вычисляется при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, повторный предел получается в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности.

Определение

Рассмотрим функцию двух переменных $f(x,y)$, определённую в некоторой проколотой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Для каждого фиксированного значения переменной $x$ рассмотрим предел:

$\phi \left(x\right)=\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$

Будем считать, что $\phi \left(x\right)$ существует и определена для каждого значения $x$. В результате получим функцию одной переменной. Теперь рассмотрим предел $\phi \left(x\right)$:

$A=\underset{x\to x_0}{\lim }\phi \left(x\right)$

Если этот предел существует, то говорят, что $A$ есть повторный предел функции $f(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$.

$A=\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)$

Аналогично мы можем сначала фиксировать переменную $y$ и брать предел по переменной $x$. В этом случае мы также получим повторный предел, но, вообще говоря, другой:

$B=\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$

Это определение можно распространить и на функции нескольких переменных $f(x_1,\dots ,x_n)$.

Равенство повторных пределов

Пусть функция $f(x,y)$ определена в проколотой окрестности точки $(a,b)$. Если существует (конечный или нет) двойной предел

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=A$

и если при любом $y$ из проколотой окрестности точки $a$ существует конечный предел по $x$

$\phi (y)=\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)$

то существует повторный предел

$\underset{y\to b}{\lim }\phi (y)=\underset{y\to b}{\lim }\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)$

и равен двойному.

См. также

• Предел функции

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга