Постоянные Фейгенбаума

Шаблон:Main Шаблон:Вещественные константы Постоянные Фейгенбаума — универсальные постоянные, характеризующие бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к Динамическому хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыты Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 году.

Каскад бифуркаций для логистического отображения. Над каждой точкой $a$ на оси абсцисс отложены точки соответствующего предельного цикла отображения $x_{n+1}=a{x}_n(1-x_n)$. Видно, что при увеличении $a$ неподвижная точка сменяется циклом длины 2, он, в свою очередь, циклом длины 4, и так далее. Первая константа Фейгенбаума равна пределу отношения $L_i/L_{i+1}$, где $L_i$ — расстояния между точками бифуркаций.

Первая константа Фейгенбаума

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные последовательности $x_{n+1}=f_a(x_n)$, где $a$ — некоторый параметр. Один из простейшиx примеров функции $f_a(x)$ — логистическое отображение

$x_{n+1}=f_a(x_n)=a{x}_n(1-x_n)$

В зависимости от параметра $a$, в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл. При изменении $a$ может произойти бифуркация, при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за $a_n$ значения $a$, при которых происходит удвоение периода. Оказывается, что при больших $n$ значения $a_n$ сходятся к фиксированному значению $a_{\mathrm{\infty }}$. Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций $f_a(x)$ (универсальность Фейгенбаума). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума

$\delta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}}=4,669201609102990671853203820466\dots ,$

При $a>a_{\mathrm{\infty }}$ динамика системы становится хаотичной.

Физический смысл первой константы Фейгенбаума — скорость перехода к хаосу систем, испытывающих удвоение периода.

Она характеризует каскад удвоения периода во многих сложных динамических системах, таких, как система Рёсслера, турбулентность, рост популяций и пр.

Вторая константа Фейгенбаума

Вторая константа Фейгенбаума

$\alpha =2,502907875095892822283902873218\dots$ —

определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций (см. рисунок). Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем.

Свойства констант Фейгенбаума

Предполагается, что обе константы являются трансцендентными, хотя это ещё не доказано.

См. также

• Каскад бифуркаций
• Бифуркационная диаграмма
• Универсальность Фейгенбаума

Ссылки

• Д. И. Трубецков. Турбулентность и детерминированный хаос
• Feigenbaum ConstantШаблон:Ref-en
• Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium] https://www.youtube.com/watch?v=DH1cv0Rdf2w