Среднее кубическое

Среднее кубическое (также средняя кубическая) — число $x$, равное кубическому корню из среднего арифметического кубов данных чисел $a_1,a_2,...,a_n$:

$x=\sqrt[3]{\frac{a_1^3+a_2^3+\dots +a_n^3}{n}}$

Свойства

Среднее кубическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

$\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}⩽\sqrt[3]{\frac{a_1^3+a_2^3+\dots +a_n^3}{n}}$

Применение

Среднее кубическое является характеристикой объёмных признаков. Может использоваться, например, для расчёта среднего объёма предметов по их диаметрам. Так, если известны диаметры яиц, то их средний объём может быть рассчитан с помощью среднего кубического. Среднее кубическое находит применение в статистике.

Среднее кубическое для функции

Среднее кубическое можно также определить для непрерывной функции $f(t)$, заданной на отрезке $[T_1,T_2]$, по формуле

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{T_2-T_1}\underset{T_1}{\overset{T_2}{\int }}{f}^3(t)dt,}$

а также для непрерывной функции $f(t)$, определённой на положительной полуоси:

$x=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[3]{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{f}^3(t)dt.}$

Среднее кубическое для периодической функции по положительной полуоси равно среднему кубическому по периоду функции.

Пример вычисления

Рассмотрим функцию синуса

$x(t)=A\sin (\omega t),$

где $t$ — время, $A$ — амплитуда, а $\omega$ — частота в радианах на единицу времени. Тогда

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

и среднее кубическое вычисляется как

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{A}^3{\sin }^3\left(\frac{2\pi }{T}t\right)dt}=\frac{A}{\sqrt[3]{2\pi }}\sqrt[3]{\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^3(t)dt.}$