G-функция Барнса

G-функция Барнса (обычно обозначаемая $G(z)$) — функция, которая расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. $G$-функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма Барнса.

Формально $G$-функция Барнса определяется (в форме произведения Вейерштрасса) как

$G(z+1)=(2\pi {)}^{z/2}{e}^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[{(1+\frac{z}{n})}^n{e}^{-z+z^2/(2n)}\right]$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Дифференциальные уравнения, функциональные уравнения и частные значения

$G$-функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению

$G(z+1)=\mathrm{\Gamma }(z)G(z)$

Таким образом,

$G(n)=\mathrm{sf}(n-2)$, где $\mathrm{sf}(x)$— суперфакториал $x$.

Например,

$G(8)=\mathrm{sf}(6)=6!\cdot 5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!=24883200$

если принять, что $G(1)=1$. В дифференциальном уравнении подразумевается, что $G$ принимает следующие значение при целых значениях аргумента:

$G(n)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }n=0,-1,-2,\dots \\ \prod _{i=0}^{n-2}i!& \text{if }n=1,2,\dots \end{array}$

таким образом

$G(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{K(n)}$

где Γ — Гамма-функция и K — K-функция. Дифференциальное уравнение единственным образом определяет $G$-функцию, если добавлено условие выпуклости: $(\mathrm{\forall }x\ge 1)\frac{{\mathrm{d}}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\log (G(x))\ge 0$.

Дифференциальное уравнение для $G$-функции и функциональное уравнение для Гамма-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для $G$-функции, доказанным Германом Кинкелином:

$G(1-z)=G(1+z)\frac{1}{(2\pi {)}^z}\exp \underset{0}{\overset{z}{\int }}\pi x\cot \pi xdx.$

Формула умножения

Схожая с Гамма-функцией, $G$-функция также имеет формулу умножения:

$G(nz)=K(n)n^{n^2{z}^2/2-nz}(2\pi {)}^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G(z+\frac{i+j}{n}),$

где

$K(n)=e^{-(n^2-1){\zeta }^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}=(A{e}^{-\frac{1}{12}}{)}^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}.$

Здесь ${\zeta }^{\prime }$ — это дзета-функция Римана, $A$ — это постоянная Глейшера—Кинкелина.