Временное среднее

Временно́е среднее функции по траектории динамической системы — это предел чезаровских средних значений функции в точках траектории.

Рассмотрим динамическую систему c дискретным временем, заданную итерациями отображения $f:X\to X$. Пусть на фазовом пространстве $X$ задана функция $\phi :X\to ℝ$. Частичным временны́м средним функции $\phi$ по орбите точки $x$ за $n$ шагов называется чезаровское среднее значений функции в точках орбиты:

${\overline{\phi }}^n(x)=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\phi \circ f^k(x)$.

Временны́м средним называется предел частичных временных средних при $n\to \mathrm{\infty }$:

$\overline{\phi }(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\overline{\phi }}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}\phi \circ f^k(x)$

Для системы с непрерывным временем временное среднее определяется следующим образом. Пусть преобразование фазового потока задаётся функцией $f(\cdot ;t):X\to X$. Тогда временное среднее определяется как предел следующего вида:

$\overline{\phi }(x)=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}\phi \circ f(x;t)dt$

Одним из важных результатов эргодической теории является равенство временных и пространственных средних (т.е. интеграла по пространству) непрерывных функций для почти всех траекторий эргодических систем.

Пример Боуэна даёт пример системы, в которой типичная непрерывная функция не имеет временных средних для почти всех начальных условий.

Ссылки

• Шаблон:Книга:Каток-Хасселблат-2005