Аффинный шифр

Аффинный шифр — это частный случай более общего моноалфавитного шифра подстановки. К шифрам подстановки относятся также шифр Цезаря, ROT13 и Атбаш. Поскольку аффинный шифр легко дешифровать, он обладает слабыми криптографическими свойствами.

Описание

В аффинном шифре каждой букве алфавита размера $m$ ставится в соответствие число из диапазона $0..m-1$. Затем при помощи модульной арифметики для каждого числа, соответствующего букве исходного алфавита, вычисляется новое число, которое заменит старое в шифротексте. Функция шифрования для каждой буквы

$\text{E}(x)=(ax+b)modm,$

где модуль $m$ — размер алфавита, а пара $a$ и $b$ — ключ шифра. Значение $a$ должно быть выбрано таким, что $a$ и $m$ — взаимно простые числа. Функция расшифрования

$\text{D}(x)=a^{-1}(x-b)modm,$

где $a^{-1}$ — обратное к $a$ число по модулю $m$. То есть оно удовлетворяет уравнению

$1=a{a}^{-1}modm.$

Обратное к $a$ число существует только в том случае, когда $a$ и $m$ — взаимно простые. Значит, при отсутствии ограничений на выбор числа $a$ расшифрование может оказаться невозможным. Покажем, что функция расшифрования является обратной к функции шифрования

$\begin{array}{ccc}\text{D}(\text{E}(x))& =& a^{-1}(\text{E}(x)-b)modm\\ & =& a^{-1}(((ax+b)modm)-b)modm\\ & =& a^{-1}(ax+b-b)modm\\ & =& a^{-1}axmodm\\ & =& xmodm.\end{array}$

Количество возможных ключей для аффинного шифра можно записать через функцию Эйлера как $\phi (m)m$.

Примеры шифрования и расшифрования

В следующих примерах используются латинские буквы от A до Z, соответствующие им численные значения приведены в таблице.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Шифрование

В этом примере необходимо зашифровать сообщение «ATTACK AT DAWN», используя упомянутое выше соответствие между буквами и числами, и значения $a=3$, $b=4$ и $m=26$, так как в используемом алфавите 26 букв. Только на число $a$ наложены ограничения, так как оно должно быть взаимно простым с 26. Возможные значения $a$: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 и 25. Значение $b$ может быть любым, только если $a$ не равно единице, так как это сдвиг шифра. Итак, для нашего примера функция шифрования $y=E(x)=(3x+4)(\mathrm{mod}26)$. Первый шаг шифрования — запись чисел, соответствующих каждой букве сообщения.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
$x$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Теперь, для каждого значения $x$ найдем значение $(3x+4)$. После нахождения значения $(3x+4)$ для каждого символа возьмем остаток от деления $(3x+4)$ на 26. Следующая таблица показывает первые четыре шага процесса шифрования.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
$x$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
$3x+4$	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
$(3x+4)(\mathrm{mod}26)$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Последний шаг процесса шифрования заключается в подстановке вместо каждого числа соответствующей ему буквы. В этом примере шифротекст будет «EJJEKIEJNESR». Таблица ниже показывает все шаги по шифрованию сообщения аффинным шифром.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
$x$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
$3x+4$	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
$(3x+4)(\mathrm{mod}26)$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R

Расшифрование

Для расшифрования возьмем шифротекст из примера с шифрованием. Функция расшифрования будет $\text{D}(y)=a^{-1}(y+m-b)\text{ mod }m$, где $a^{-1}=9$, $b=4$ и $m=26$.

Замечание: если каждая $y⩾b$, то функция расшифрования принимает вид $\text{D}(y)=a^{-1}(y-b)\text{ mod }m$. (Точно так же, как и в обозреваемом примере, но разберём общий вариант)

Для начала запишем численные значения для каждой буквы шифротекста, как показано в таблице ниже.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
$y$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Теперь для каждого $y$ необходимо рассчитать $9(y+m-4)$ и взять остаток от деления этого числа на 26. таблица показывает результат этих вычислений.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
$y$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
$9(y+26-4)$	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
$9(y+26-4)(\mathrm{mod}26)$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Последний шаг операции расшифрования для шифротекста — поставить в соответствие числам буквы. Сообщение после расшифрования будет «ATTACKATDAWN». Таблица ниже показывает выполнение последнего шага.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
$y$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
$9(y+26-4)$	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
$9(y+26-4)(\mathrm{mod}26)$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
сообщение	A	T	T	A	C	K	A	T	D	A	W	N

programming language

Криптоанализ

Так как аффинный шифр является по сути моноалфавитным шифром замены, то он обладает всеми уязвимостями этого класса шифров. Шифр Цезаря — это аффинный шифр с $a=1$, что сводит функцию шифрования к простому линейному сдвигу.

В случае шифрования сообщений на русском языке (т.е. $m=33$) существует 297 нетривиальных аффинных шифров, не учитывая 33 тривиальных шифра Цезаря. Это число легко посчитать, зная, что существует всего 20 чисел взаимно простых с 33 и меньших 33 (а это и есть возможные значения $a$). Каждому значению $a$ могут соответствовать 33 разных дополнительных сдвига (значение $b$); то есть всего существует 20*33 или 660 возможных ключей. Аналогично, для сообщений на английском языке (т.е. $m=26$) всего существует 12*26 или 312 возможных ключей. Такое ограниченное количество ключей приводит к тому, что система крайне не криптостойка с точки зрения принципа Керкгоффса.

Основная уязвимость шифра заключается в том, что криптоаналитик может выяснить (путём частотного анализа, полного перебора, угадывания или каким-либо другим способом) соответствие между двумя любыми буквами исходного текста и шифротекста. Тогда ключ может быть найден путём решения системы уравнений. Кроме того, так мы знаем, что $a$ и $m$ — взаимно простые, это позволяет уменьшить количество проверяемых ключей для полного перебора.

Преобразование, подобное аффинному шифру, используется в линейном конгруэнтном методе (разновидности генератора псевдослучайных чисел). Этот метод не является криптостойким по той же причине, что и аффинный шифр.