Шестиугольное число

Шестиугольное число — фигурное число. n-ое шестиугольное число — число точек в состоящем из них правильном шестиугольнике со стороной в n точек.

Формула для n-го шестиугольного числа:

$h_{n} = n (2 n - 1)$

Последовательность шестиугольных чисел начинается так^[1]:

Свойства

Каждое шестиугольное число является треугольным числом, но лишь треугольные числа с нечётным номером (первое, третье, пятое, седьмое и т. д.) являются шестиугольными. Как и треугольныe, шестиугольные числа делятся на 9 с остатком 0, 1, 3 или 6.

Каждое чётное совершенное число (полученное по формуле $M_{p} 2^{p - 1} = M_{p} (M_{p} + 1) / 2 = h_{(M_{p} + 1) / 2}$ , где M_p — простое число Мерсенна) является шестиугольным. Так как ни одно нечетное совершенное число до сих пор не найдено^[2]^[3], все известные совершенные числа — шестиугольные.

n-ое шестиугольное число можно записать в виде суммы:
$h_{n} = \sum_{i = 0}^{n - 1} (4 i + 1)$

Проверить, является ли натуральное число x шестиугольным, можно с помощью вычисления

n = \frac{\sqrt{8 x + 1} + 1}{4} .

Если n целое, то x является n-м шестиугольным числом. Если n не целое, то x шестиугольным не является.