Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы — это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени отказ объекта не возникает. Вероятность безотказной работы вместе с интенсивностью отказов определяет безотказность объекта (при этом вероятность безотказной работы обратна вероятности отказа объекта).

Показатель вероятности безотказной работы определяется статистической оценкой: $P(t)=\frac{N_0-n(t)}{N_0}=1-\frac{n(t)}{N_0}$ где $N_0$ — исходное число работоспособных объектов,
$n(t)$ — число отказавших объектов за время $t$.

---

Вероятность безотказной работы группы взаимосвязанных объектов равна произведению вероятностей безотказной работы каждого объекта в этой группе: $P(t)=P_1(t)\cdot P_2(t)\cdot ...\cdot P_n(t)=\prod _{k=1}^n{P}_k(t)$ где n — число объектов в группе.

Чем больше объектов в группе, тем ниже надежность всей группы, так как если $P_1(t)=P_2(t)=...=P_n(t)$, то тогда $P(t)=[P_1(t){]}^n$.

Среднее время безотказной работы системы

Среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) $T_0$ — для невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем — это математическое ожидание времени работы системы до отказа:

$T_0=M=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t\cdot f(t)dt=-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}tdP(t)$

Пределы несобственного интеграла изменяются от 0 до $\mathrm{\infty }$, так как время не может быть отрицательным; $f(t)$ — есть плотность вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента.

$P(T)$ — есть вероятность безотказной работы в интервале времени $0<t<T.$ В начальный момент вероятность $P(T)$ равна единице. В конце времени работы системы вероятность $P(T)$ равна нулю.

Вероятность $P(T)$ связана с плотностью вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента следующим образом:

$f(t)=-\frac{dP(t)}{dt}.$

Проинтегрировав выражение для $T_0$ по частям, получим:

$T_0=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P(t)dt.$

Вероятность безотказной работы в зависимости от наработки

Графически полученное выражение для $T_0$ представлено на рисунке как площадь под графиком вероятности безотказной работы $P(T)$ от времени $t.$ В начальный момент вероятность <math>Р(T)</math> равна единице. В конце времени работы системы <math>P(T)</math> равна нулю.

Здесь $T\ge 0$ — случайное время работы системы до отказа или наработка на отказ для невосстанавливаемого элемента или системы.

Типичные распределения времени безотказной работы

• Экспоненциальное распределение: $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$, $\lambda >0$, $t⩾0$.
• Гамма-распределение: $f(t)=\frac{\lambda (\lambda t{)}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda t}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}$, $\lambda ,\alpha >0$, $t⩾0$.
• Распределение Вейбулла: $f(t)=\lambda \alpha t^{\alpha -1}{e}^{-\lambda t^{\alpha }}$, $\lambda ,\alpha >0$, $t⩾0$.
• Модифицированное распределение экстремального значения: $f(t)=\frac{1}{\lambda }\exp [-\frac{e^t-1}{\lambda }+t]$, $\lambda >0$, $t⩾0$.
• Усечённое нормальное распределение: $f(t)=\frac{1}{a\sigma \sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]$, $\sigma >0$, $-\mathrm{\infty }<\mu <\mathrm{\infty }$, $0<t<\mathrm{\infty }$.
• Логарифмически-нормальное распределение: $f(t)=\frac{1}{t\sigma \sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{(\lg t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]$, $\sigma >0$, $-\mathrm{\infty }<\mu <\mathrm{\infty }$, $t⩾0$.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Расчёт надёжности
• ГОСТ 27.002—89 (В викитеке)
• Вероятность безотказной работы по ГОСТ 27.002-89