Уравнение Грэда — Шафранова

Уравнение Грэда — Шафранова — уравнение равновесия плазмы в токамаке. Это уравнение получено В. Д. Шафрановым в 1957 году и независимо Г. Грэдом и Г. Рубиным в 1958.

В цилиндрических координатах оно имеет вид:

$r^2\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\frac{1}{r^2}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\right)=-r^2{\mu }_0\cdot p^{\prime }(\mathrm{\Psi })-\frac{{\mu }_0^2}{4{\pi }^2}F(\mathrm{\Psi })\cdot F^{\prime }(\mathrm{\Psi })$,

или

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial r}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2}=-r^2{\mu }_0\cdot \frac{dp}{d\mathrm{\Psi }}-\frac{{\mu }_0^2}{4{\pi }^2}F(\mathrm{\Psi })\cdot \frac{dF}{d\mathrm{\Psi }}$,

где:

• $\mathrm{\Psi }$ — магнитный поток через внешнюю полоидальную перегородку;
• $F$ — полоидальный ток;
• $p$ — давление плазмы;
• ${\mu }_0$ — магнитная постоянная.

Индукция магнитного поля:

$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0\cdot F}{2\pi r}{\overrightarrow{e}}_{\phi }+\frac{\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\times {\overrightarrow{e}}_{\phi }}{r}$

Плотность тока:

$\overrightarrow{j}=\frac{1}{2\pi }\frac{dF}{d\mathrm{\Psi }}\overrightarrow{B}+\frac{dp}{d\mathrm{\Psi }}r\cdot {\overrightarrow{e}}_{\phi }$

Литература

• К.В.Брушлинский, В.В.Савельев. Магнитные ловушки для удержания плазмы. Мат. Моделирование, т.11 N 5, 1999, стр.3-36.
• Физическая энциклопедия, Т. 5, Тороидальные системы
• T. J. M. Boyd, J. J. Sanderson The physics of plasmas
• Kenrō Miyamoto Plasma physics and controlled nuclear fusion
• Masahiro Wakatani Stellarator and heliotron devices