Соглашение Эйнштейна

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности, теории упругости и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна (также известно как «правило суммирования Эйнштейна»): если одна и та же буква в обозначении индекса встречается в одночлене и сверху, и снизу, то такой одночлен полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

$v_k=a_i{b}_k^i$

индекс $i$ встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

$v_k=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_k^i,$

где $n$ — размерность пространства, на котором определены $a$ и $b$ (здесь предполагается, что нумерация координат начинается с единицы).

Индекс, по которому проводится суммирование, называется немым; он может быть заменён любой буквой, при этом значение выражения, в которое он входит, не меняется (очевидно, что $a_i{b}^i\equiv a_j{b}^j$). Если индекс не является немым (свободный индекс), он должен встречаться в одинаковом положении в обеих частях (не)равенства; фактически в этом случае одно выражение представляет собой систему выражений (равенств или неравенств), число которых равно Шаблон:Math, где Шаблон:Math — количество свободных индексов. Например, если размерность Шаблон:Nobr, то выражение

$r_{lk}=p_{li}{q}_k^i$

с двумя свободными индексами Шаблон:Math и Шаблон:Math представляет собой краткую запись 4²=16 равенств, в правой части каждого из которых стоит сумма четырёх произведений:

$r_{11}=p_{11}{q}_1^1+p_{12}{q}_1^2+p_{13}{q}_1^3+p_{14}{q}_1^4;$

$r_{12}=p_{11}{q}_2^1+p_{12}{q}_2^2+p_{13}{q}_2^3+p_{14}{q}_2^4;$

$...$

$r_{44}=p_{41}{q}_4^1+p_{42}{q}_4^2+p_{43}{q}_4^3+p_{44}{q}_4^4.$

В случае использования выражений в виде дробей, таких как частные производные, верхние индексы, записываемые в знаменателе, считаются для применения правила как бы нижними и наоборот; например, выражение

$\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i,$

записывается в виде

$\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$

или в ещё более простом виде, когда запятая перед индексом обозначает частное дифференцирование по соответствующей координате:

$f^{,i}d{x}_i.$

В некоторых случаях (если метрический тензор полагается всегда равным [[Символ Кронекера|Шаблон:Math]]) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве ${ℝ}^3$

$D_{\alpha \beta }{n}_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^3{D}_{\alpha \beta }{n}_{\alpha }.$

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать $D_{\beta }^{\alpha }{n}_{\alpha }$.