Дизъюнкция

Шаблон:Похожие буквы Шаблон:Булева функция Дизъю́нкция (от Шаблон:Lang-la — «разобщение»), логи́ческое сложе́ние, логи́ческое ИЛИ, включа́ющее ИЛИ; иногда просто ИЛИ — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу».

Дизъюнкция может быть операцией как бинарной (имеющей два операнда), так и $n$-арной (имеющей $n$ операндов) для произвольного $n$.

Запись может быть префиксной — знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной — знак операции стоит между операндами или постфиксной — знак операции стоит после операндов. При числе операндов более двух префиксная и постфиксная записи экономичнее.

Инверсией дизъюнкции является стрелка Пирса.

Обозначения

Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции дизъюнкции:

$a\vee b,a$ || $b,a$ | $b,a\text{OR}b$$,\max (a,b).$

При этом обозначение $a\vee b$, рекомендованное международным стандартом ISO 31-11, наиболее широко распространено в современной математике и математической логикеШаблон:Sfn. Появилось оно не сразу: Джордж Буль, положивший начало систематическому применению символического метода к логике, не работал с дизъюнкцией (используя вместо неё строгую дизъюнкцию, которую обозначал знаком Шаблон:Big), а Уильям Джевонс предложил для дизъюнкции знак ·|·. Эрнст Шрёдер и П. С. Порецкий вновь использовали знак Шаблон:Big, но уже применительно к обычной дизъюнкции. Символ $\vee$ как обозначение дизъюнкции впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов» Бертрана Рассела (1908); он образован от Шаблон:Lang-la, что означает «или»Шаблон:Sfn.

Обозначение ⋁ для дизъюнкции было использовано и в раннем языке программирования Алгол 60Шаблон:Sfn. Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных наборах символов (например, в ASCII или EBCDIC), применявшихся на большинстве компьютеров, в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для дизъюнкции. Так, в Фортране IV и PL/I применялись соответственно обозначения .OR. и | (с возможностью замены последнего на ключевое слово OR); в языках Паскаль и Ада используется зарезервированное слово or; в языках C и C++ применяются обозначения | для побитовой дизъюнкции и || для логической дизъюнкции).

Наконец, при естественном упорядочении значений истинности двузначной логики (когда полагают, что $0<1$), оказывается, что $(a\vee b)=\max (a,b).$ Таким образом, дизъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления максимума; это открывает наиболее естественный способ определить операцию дизъюнкции в системах многозначной логики.

Булева алгебра

Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция (логи́ческое «ИЛИ», логи́ческое сложе́ние или просто «ИЛИ»). При этом результат равен наибольшему операнду.

В булевой алгебре дизъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Таким образом, результат равен $0$, если все операнды равны $0$; во всех остальных случаях результат равен $1$.

Таблица истинности
$a$	$b$	$a\vee b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:

$a$	$b$	$c$	$a\vee b\vee c$
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция, в многозначных логиках называется максимум: $max(a,b)$, где $a,b\in [0,...,n-1]$, а $n$ — значность логики. Возможны и другие вариантыШаблон:Чего. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов $0,1$.

Название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция, логи́ческое «ИЛИ», логическое сложе́ние и просто «ИЛИ» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

• $a\to a\vee b$
• $b\to a\vee b$
• $(a\to c)\to ((b\to c)\to ((a\vee b)\to c))$

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Логический элемент 2ИЛИ

Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
• «0» тогда и только тогда, когда на всех входах «0»

Теория множеств

С точки зрения теории множеств, дизъюнкция аналогична операции объединения.

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++/Perl/PHP логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое — символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «or», а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.

Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата $false$ или $true$. Например:

if (a || b)
{
    /* какие-то действия */
};

Результат будет равен $false$, если оба операнда равны $false$ или $0$. В любом другом случае результат будет равен $true$.

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно

$true$

, то значение правого операнда не вычисляется (вместо

$b$

может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

{$B-}

или выключающую

{$B+}

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда:

if (a == NULL || a->x == 0)
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт разыменования нулевого указателя.

Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =	$01100101_2$
b =	$00101001_2$
то
a ИЛИ b =	$01101101_2$

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и (или)», иногда «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как $1$, а «ложь» как $0$.

Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции — строгой дизъюнкции (исключающего «ИЛИ»).

См. также

• Идентичность
• Отрицание
• Конъюнкция
• Импликация
• Обратная импликация
• Штрих Шеффера
• Стрелка Пирса
• Условная дизъюнкция
• Таблица истинности
• Закон тождества

Литература

• Шаблон:Книга