Метод Куммера

Метод Куммера — в теории числовых рядов способ, позволяющий заменить заданный ряд другим, сходящимся быстрее, предложен Э. Куммером.

Предположим, что имеется сходящийся числовой ряд $a_k$ и требуется найти его сумму с заданной точностью. Для увеличения скорости сходимости этого ряда применяется метод Куммера, который состоит в следующем. Подбирается ряд $b_k$ с известной суммой такой, чтобы разность

$c_k=a_k-b_k=o(a_k),k\to \mathrm{\infty }$

В этом случае величину $S=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ можно представить в виде суммы $S=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ где ряд $c_k$ сходится быстрее, чем исходный ряд, а сумма ряда $b_k$ — известна. Это означает, что для получения суммы ряда с заданной точностью во втором случае нужно взять меньшее количество членов ряда $c_k$.

Например, для повышения скорости сходимости ряда

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$

можно воспользоваться рядом

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1$,

сумма которого известна, и записать

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2(k+1)}$.

Преобразование Куммера можно применять не ко всем членам исходного ряда, а только к членам ряда, начиная с некоторого места. В этом случае несколько членов исходного ряда остаются без изменения.

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, п. 415.