Теорема об опорной гиперплоскости

Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств.

Формулировка

Если заданы замкнутое ограниченное выпуклое множество $C\in {ℝ}^m$ и точка $z^{*}=(z_1^{*},z_2^{*},...,z_m^{*})\in {ℝ}^m$, не принадлежащая множеству $C$, то существуют такие числа $a_1,a_2,...,a_m,b$, что

$a_1{z}_1^{*}+a_2{z}_2^{*}+...+a_m{z}_m^{*}=b$

$a_1{z}_1+a_2{z}_2+...+a_m{z}_m>b,\mathrm{\forall }z\in C$

Геометрически это означает, что через точку $z^{*}$ можно провести гиперплоскость так, что множество $C$ будет лежать «выше» этой гиперплоскости.

Литература

• Дж. фон Нейман. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Пер. с англ. под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.
• Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 336 с.
• Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн. [пер. с англ.] / Под ред. А.А. Корбута. – М. : Издательство «Мир», 1971. – 229 с.