Частичный предел последовательности

Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Определения

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно $+\mathrm{\infty }$ или $-\mathrm{\infty }$.

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую. Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.

Обозначения

Нижний предел последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n$ (в отечественной литературе);

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n$ (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n$ (в отечественной литературе);

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n$ (в иностранной литературе).

Примеры

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{(-1)}^n=-1$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{(-1)}^n=+1$

• $\nexists \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}n,\nexists \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}n$ (в другой терминологии оба предела равны $+\mathrm{\infty }$)

Свойства

• Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентныШаблон:Efn.
• У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать $-\mathrm{\infty }$ и $+\mathrm{\infty }$ допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
• Числовая последовательность $\{x_n\}$ сходится к $a$ тогда и только тогда, когда $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n=a$.
• Для любого наперёд взятого положительного числа $\epsilon$ все элементы ограниченной числовой последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, начиная с некоторого номера, зависящего от $\epsilon$, лежат внутри интервала $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n-\epsilon ,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n+\epsilon )$.
• Если за пределами интервала $(a,b)$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, то интервал $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n)$ содержится в интервале $(a,b)$.
• Множество частичных пределов замкнуто.