Адаптивная скользящая средняя Кауфмана

Адаптивная скользящая средняя Кауфмана (AMA, KAMA, AMkA от Шаблон:Lang-en) — технический индикатор, разновидность адаптивной скользящей средней, построенной на базе экспоненциально сглаженной скользящей средней и оригинальной методики определения и применения волатильности в качестве динамически изменяющейся сглаживающей константы.

Индикатор Адаптивная скользящая средняя разработан Шаблон:Не переведено 2 и впервые представлен в 1995 году в его книге «Умный трейдинг: повышение эффективности на изменяющемся рынке» (Шаблон:Lang-en).

Предпосылки создания индикатора

При использовании классических скользящих средних в качестве индикатора технического анализа трейдеры сталкиваются с необходимостью выбора оптимальной ширины окна для их расчётов. В общем случае, это нетривиальная задача, породившая целую ветвь технического анализа, возникало предложение автоматизировать выбор этого параметра. В 1992 году Тушар Шонде (Шаблон:Lang-en) разработал адаптивную модель скользящей средней (VIDYA), в которой ширина окна зависит от волатильности цены, а в 1995 году Перри Кауфман предложил свою версию подобного технического индикатора. Основным посылом Кауфмана было желание реализовать консервативное следование в направлении тренда, при этом быстро получать сигнал на динамичном рынке и своевременно закрывать позиции, когда рынок становится ненаправленным.

Методика расчёта

Базовая формула

Адаптивная скользящая средняя Кауфмана является производной от классической экспоненциально сглаженной скользящей средней с переменным коэффициентом сглаживания. То есть каждый раз используется классическая формула

${\mathit{\text{𝐸𝑀𝐴}}}_t=\alpha \cdot {\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_t+(1-\alpha )\cdot {\mathit{\text{𝐸𝑀𝐴}}}_{t-1},$

в которой сглаживающая константа $\alpha$ вычисляется динамически и в общем случае различается для каждого периода.

Коэффициент эффективности

Для определения состояния рынка Перри Кауфман вводит понятие коэффициент эффективности (ER от Шаблон:Lang-en), который основан на соотношении общего движения цены (direction) и суммы абсолютных значений шумовых движений рынка (volatility) за определенный период (n):

${\mathit{\text{𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}}}_{t,n}=|{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_t-{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-n-1}|,$

${\mathit{\text{𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦}}}_{t,n}=\sum _{i=0}^{n-1}|{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-i}-{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-i-1}|,$

${\mathit{\text{𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜}}}_{t,n}=\frac{{\mathit{\text{𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}}}_{t,n}}{{\mathit{\text{𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦}}}_{t,n}}=\frac{|{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_t-{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-n-1}|}{\sum _{i=0}^{n-1}|{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-i}-{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-i-1}|},$

где ${\mathit{\text{𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}}}_{t,n},{\mathit{\text{𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦}}}_{t,n},{\mathit{\text{𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜}}}_{t,n}$ — соответственно общее движение цены, сумма шумовых движений и коэффициент эффективности в момент $t$ за период $n$; ${\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_i$ — цена закрытия периода $i$.

Из представленных формул видно, что коэффициент эффективности может изменяться в пределах от 0 до 1. Причём его значение стремится к нулю, когда на рынке нет направленного движения, и к единице, когда рынок движется однонаправленно. Если график цены будет представлять собой горизонтальную прямую линию коэффициент эффективности будет равен единице.

Сглаживающая константа

На следующем этапе происходит вычисление изменяющейся сглаживающей константы (SSC от Шаблон:Lang-en), которая строится исходя из предположения, что в зависимости от коэффициента эффективности она должна «помнить» данные за разное количество предыдущих периодов. То есть на трендовом рынке следует применять быструю скользящую среднюю (рассчитываемую на узком окне), а на нетрендовом — медленную (рассчитываемую на широком окне). Причём конкретное значение ширины окна должно получаться автоматически исходя из значения коэффициент эффективности:

$\mathit{\text{𝑓𝑎𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡}}=\frac{2}{f+1}$

$\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}}=\frac{2}{s+1}$

${\mathit{\text{𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ}}}_{t,n,f,s}={\mathit{\text{𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜}}}_{t,n}\cdot (\mathit{\text{𝑓𝑎𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡}}-\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}})+\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}},$

где $\mathit{\text{𝑓𝑎𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡}},\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}}$ — классические сглаживающие коэффициенты для экспоненциально сглаженной скользящей средней, а ${smooth}_{t,n,f,s}$ — изменяющаяся сглаживающая константа вычисленные для момента $t$, используя для построения коэффициент эффективности ${\mathit{\text{𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜}}}_{t,n}$ окно размером $n$ периодов, принимающим в качестве быстрого коэффициента сглаживания — $\mathit{\text{𝑓𝑎𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡}},f$ периодов, а в качестве медленного коэффициента сглаживания — $\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}},s$ периодов.

Для более эффективного воздействия изменяющейся сглаживающей константы (SSC) на сильно зашумленных участках рынка, со слабой трендовой составляющей Кауфман рекомендует в качестве динамического коэффициента сглаживания в формулах экспоненциально сглаженной скользящей средней использовать квадрат SSC:

$c_{t,n,f,s}={\mathit{\text{𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ}}}_{t,n,f,s}^2=({\mathit{\text{𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜}}}_{t,n}\cdot (\mathit{\text{𝑓𝑎𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡}}-\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}})+\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}}{)}^2.$

Адаптивная скользящая средняя

Конечная формула для адаптивной скользящей средней будет выглядеть следующим образом:

${\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_{t,n,f,s}=c_{t,n,f,s}\cdot {\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_t+(1-c_{t,n,f,s})\cdot {\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_{t-1},$

где ${\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_{t,n,f,s},{\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_{t-1,n,f,s}$ — значения адаптивной скользящей средней в момент времени $t$ и $t-1$ (текущее и предыдущее значения), $c_{t,n,f,s}$ — вторая степень изменяющейся сглаживающей константы, ${\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_t$ — цена закрытия текущего периода $t$.

Оригинальные значения параметров

В качестве оригинальных параметров Кауфман использовал:

• $n=10$ (для окна вычисления коэффициента эффективности),
• $f=2$ (для быстрой скользящей средней),
• $s=30$ (для медленной скользящей средней).

При подстановке указанных параметров в формулы получим (c оригинальным округлением):

${\mathit{\text{𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}}}_{t,10}=|{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_t-{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-9}|$

${\mathit{\text{𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦}}}_{t,10}=\sum _{i=0}^9|{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-i}-{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-i-1}|$

${\mathit{\text{𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜}}}_{t,10}=\frac{{\mathit{\text{𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}}}_{t,10}}{{\mathit{\text{𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦}}}_{t,10}}=\frac{{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_t-{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-9}}{\sum _{i=0}^9|{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-i}-{\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_{t-i-1}|}$

$\mathit{\text{𝑓𝑎𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡}}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}=0,6667$

$\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}}=\frac{2}{30+1}=\frac{2}{31}=0,06452$

${\mathit{\text{𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ}}}_{t,10,2,30}={\mathit{\text{𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜}}}_{t,10}\cdot (\mathit{\text{𝑓𝑎𝑠𝑡𝑒𝑠𝑡}}-\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}})+\mathit{\text{𝑠𝑙𝑜𝑤𝑒𝑠𝑡}}={\mathit{\text{𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜}}}_{t,10}\cdot 0,6021+0,0645$

$c_{t,10,2,30}={\mathit{\text{𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ}}}_{t,10,2,30}^2=({\mathit{\text{𝐸𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑦𝑅𝑎𝑡𝑖𝑜}}}_{t,10}\cdot 0,6021+0,0645{)}^2$

${\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_{t,10,2,30}=c_{t,10,2,30}\cdot {\mathit{\text{𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒}}}_t+(1-c_{t,10,2,30})\cdot {\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_{t-1,10,2,30}.$

Торговые стратегии

Торговые стратегии построенные на адаптивной скользящей средней Кауфмана являются общими для всех трендеследующих индикаторов:

• Открыть длинную позицию (закрыть короткую), когда график цены пересекает график AMA снизу вверх.
• Закрыть длинную позицию (открыть короткую), когда график цены пересекает график AMA сверху вниз.

Важно заметить, что AMA меняет направление своего движения в точности в точке пересечения своего графика с графиком цены, то есть для торговли достаточно сравнивать текущее и предыдущее значение индикатора:

• Открыть длинную позицию (закрыть короткую), когда текущее значение AMA стало больше его предыдущего значения.
• Закрыть длинную позицию (открыть короткую), когда текущее значение AMA стало меньше его предыдущего значения.

Фильтрация

Несмотря на динамическую подстраиваемость адаптивной скользящей средней к рыночной волатильности Кауфман считал, что его индикатор даёт слишком много ложных сигналов. Поэтому предложил дополнительную методику фильтрации основанной на оценке среднеквадратического отклонения разности адаптивной скользящей средней на соседних периодах.

Для этого, в качестве исследуемой случайной величины берётся изменение AMA между периодами:

${\Delta }_i={\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_i-{\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_{i-1}.$

Затем, вычисляется среднеквадратическое отклонение этого изменения:

${\sigma }_t=\sqrt{\frac{1}{d}\sum _{i=0}^{d-1}{({\Delta }_{t-i}-\overline{{\Delta }_t})}^2},$

где ${\sigma }_t$ — среднеквадратическое отклонение изменения $AMA$ в соседних периодах — ${\Delta }_i$, ${\overline{\Delta }}_t=\frac{1}{d}\sum _{i=0}^{d-1}{\Delta }_{t-i}$ — математическое ожидание ${\Delta }_i$ за $d$ периодов.

В качестве фильтра используется доля полученного стандартного отклонения:

${\mathit{\text{𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟}}}_t=K\cdot {\sigma }_t,$

где $\mathit{\text{𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟}}$ — значение фильтра на основе стандартного отклонения движений индикатора, $K$ — процентный коэффициент.

Численные значения для фильтра

Зачастую, в качестве периода d для фильтра принимается то же количество периодов, что и для построения коэффициент эффективности:

$d=n=10.$

Что же касается процентного коэффициента для фильтра — $K$, то Кауфман рекомендовал использовать различные значения, например, для фьючерсов и на рынке форекс использовать значения около 10 % ($K=0,1$), а на рынке акций — до 100 % ($K=1$).

Торговые стратегии с использованием фильтров

При использовании адаптивного скользящего среднего с фильтром аналитики рекомендуют придерживаться следующей стратегии:

• Открыть длинную позицию (закрыть короткую), когда ${\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_t-\mathit{\text{𝑚𝑖𝑛}}(\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}})>{\mathit{\text{𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟}}}_t$.
• Закрыть длинную позицию (открыть короткую), когда $\mathit{\text{𝑚𝑎𝑥}}(\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}})-{\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}}}_t>{\mathit{\text{𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟}}}_t$.

В этих формулах $\mathit{\text{𝑚𝑖𝑛}}(\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}})$ — минимальное значение АМА в точке разворота снизу вверх, $\mathit{\text{𝑚𝑎𝑥}}(\mathit{\text{𝐴𝑀𝐴}})$ — максимальное значение АМА в точке разворота сверху вниз, $\mathit{\text{𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟}}$ — значение фильтра на основе стандартного отклонения движений индикатора.

Связь с другими индикаторами

Кроме того, что Адаптивная скользящая средняя Кауфмана является разновидностью индикаторов скользящих средних используя методику экспоненциально сглаженной скользящей средней стоит отметить, что для вычисления коэффициента эффективности используется фактически индикатор скорости изменения (за период для direction и сумма однопериодных для volatility).

Также можно обратить внимание на то, что именно Кауфман стал первым использовать оценки на основе среднеквадратических отклонений (тут для построения фильтра), которые впоследствии в том или ином виде использовались многими аналитиками, в частности в Линиях Боллинджера.

Литература

• Perry J. Kaufman Smarter Trading: Improving Performance in Changing Markets — McGraw-Hill, Inc. — 1995—257 p. — ISBN 0-07-034002-1.