Группа Гейзенберга

Кусок графа Кэли дискретной группы Гейзенберга .

Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

где элементы a, b, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется:

• кольцо вещественных чисел $R=ℝ$ — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается $H_3(ℝ)$, или
• кольцо целых чисел $R=\mathbb{Z}$ — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается $H_3(\mathbb{Z})$, или
• кольцо вычетов $R={\mathbb{Z}}_p$ с простым числом p — группа обозначается $H_3({\mathbb{Z}}_p)$.

Названа в честь Вернера Гейзенберга, который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.

Алгебра Гейзенберга

Алгебра Ли $𝔥$ группы Гейзенберга $H$ (над полем вещественных чисел) известна как алгебра Гейзенберга. Она может быть реализована в пространстве матриц 3×3 вида

$\left(\begin{array}{ccc}0& a& c\\ 0& 0& b\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$

где $a,b,c\in ℝ$.

Следующие три матрицы образуют базис для $𝔥$,

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right);Y=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right);Z=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$

И удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

$[X,Y]=Z;[X,Z]=0;[Y,Z]=0$.

Название "Группа Гейзенберга" мотивируется тем, что соотношения имеют ту же форму, что и каноническое коммутационное соотношение в квантовой механике ,

$[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash I;[\hat{x},i\hslash I]=0;[\hat{p},i\hslash I]=0,$

где $\hat{x}$ — оператор координаты, $\hat{p}$ — оператор импульса, и $\hslash$ — постоянная Планка.

Вариации и обобщения

Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга $H_{n+2},n\ge 1,$ состоит из квадратных матриц порядка n+2:

$\left(\begin{array}{cccccc}1& a_1& a_2& \dots & a_n& c\\ 0& 1& 0& \dots & 0& b_1\\ 0& 0& \ddots & \ddots & ⋮& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & 0& ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& 1& b_n\\ 0& 0& \dots & \dots & 0& 1\end{array}\right),$

элементы $a_i,b_i,c$ принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.

Непрерывная группа Гейзенберга $H_{n+2}(ℝ)$ представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией $ℝ$), алгебра Ли которой (размерности 2n+1) состоит из матриц вида

$\left(\begin{array}{cccccc}0& a_1& a_2& \dots & a_n& c\\ 0& 0& 0& \dots & 0& b_1\\ 0& 0& \ddots & \ddots & ⋮& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & 0& ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& 0& b_n\\ 0& 0& \dots & \dots & 0& 0\end{array}\right).$

Литература

• Кириллов А.А. Элементы теории представлений, — М.: Наука, 1978. Шаблон:Wayback
• Ernst Binz & Sonja Pods. Geometry of Heisenberg Groups, — American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Roger Evans Howe. On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis, — Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
• A.A. Kirilov. Lectures on the Orbit Method (Chapter 2: Representations and Orbits of the Heisenberg Group), — American Mathematical Society, 2004.
• Шаблон:Cite book