Задача Потенота

Шаблон:TOCright Задача Потенота (обратная геодезическая засечка) — одна из классических математических задач определения местоположения точки на местности по трём ориентирам с известными координатами; возникает, например, при определении местоположения корабля в море по трём маякам, расстояние до которых неизвестно. Имеет более 100 аналитических и графических способов решения и является частным случаем и обобщением задач трилатерации и триангуляции. Приобрела важное практическое значение в самых разных областях (геодезии, навигации, корректировке ракетно-артиллерийского огня) и не потеряла актуальности по настоящее время.

Формулировка задачи Потенота

Найти точку плоскости, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под заданными углами.

Замечание. Если все эти углы равны между собой и равны 120 градусам, то искомая точка есть Точка Торричелли.

История

Впервые решить задачу аналитически удалось голландскому математику Снеллиусу в 1616 году. Однако в 1692 году французский математик Л. Потенот (1660—1732) предложил более удачное решение этой задачи, которая впоследствии получила его имя. В разное время ею занимались картографы И. Г. Леман (1765—1811), А. П. Болотов (1803—1853), А. Д. Моторный (1891—1964) и др.

Порядок решения задачи способом Деламбра

1. Вычисляют дирекционный угол направления с исходного пункта 1 на определяемую точку «0» по формуле:

$\mathrm{t}\mathrm{g}{\alpha }_{1-0}=\frac{\mathrm{\Delta }{Y}_{2-1}\ast \mathrm{ctg}{\beta }_1+\mathrm{\Delta }{Y}_{1-3}\ast \mathrm{ctg}{\beta }_2-x_2+x_3}{\mathrm{\Delta }{X}_{2-1}\ast \mathrm{ctg}{\beta }_1+\mathrm{\Delta }{X}_{1-3}\ast \mathrm{ctg}{\beta }_2+y_2-y_3}$.

2. Определяют дирекционные углы направлений с других исходных пунктов — 2, 3, 4.

$\mathrm{t}\mathrm{g}{\alpha }_{2-0}=a_{1-0}+{\beta }_1$

$\mathrm{t}\mathrm{g}{\alpha }_{3-0}=a_{1-0}+{\beta }_2$

$\mathrm{t}\mathrm{g}{\alpha }_{4-0}=a_{1-0}+{\beta }_3$

3. Используя формулы тангенсов или котангенсов дирекционных углов направлений с исходных пунктов на определяемую точку Р, вычисляют координаты точки Р в двух комбинациях. Вторая комбинация является не зависимой и контрольной.

I комбинация

${\mathrm{x}}_0=\frac{x_1\ast \mathrm{tg}{\alpha }_{1-0}-x_2\ast \mathrm{tg}{\alpha }_{2-0}-y_1+y_2}{\mathrm{tg}{\alpha }_{1-0}-\mathrm{tg}{\alpha }_{2-0}}$.

${{\mathrm{y}}^{\prime }}_0=y_1+\mathrm{\Delta }{X}_{1-0}\ast \mathrm{tg}{\alpha }_{1-0}$.

${{\mathrm{y}}^{″}}_0=y_2+\mathrm{\Delta }{X}_{2-0}\ast \mathrm{tg}{\alpha }_{2-0}$.

II комбинация

${\mathrm{x}}_0=\frac{x_3\ast \mathrm{tg}{\alpha }_{3-0}-x_4\ast \mathrm{tg}{\alpha }_{4-0}-y_3+y_4}{\mathrm{tg}{\alpha }_{3-0}-\mathrm{tg}{\alpha }_{4-0}}$.

${{\mathrm{y}}^{\prime }}_0=y_3+\mathrm{\Delta }{X}_{3-0}\ast \mathrm{tg}{\alpha }_{3-0}$.

${{\mathrm{y}}^{″}}_0=y_4+\mathrm{\Delta }{X}_{4-0}\ast \mathrm{tg}{\alpha }_{4-0}$.

Дополнительная литература

• Моторный A. Д. Задача Потенота (аналитическое решение) / / Научные записки ЛПИ, серия геодезическая № 1. — 1949. — Вып. XV. — С. 165—171.
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Геодезическая терминология на сайте www.geodezist.info