Индекс особой точки

Индекс особой точки векторного поля — математическое понятие, относящееся к дифференциальной топологии, дифференциальной геометрии, теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений. Является топологической характеристикой изолированной особой точки векторного поля и определяется как степень гауссова отображения в данной точке.

Определение

Пусть векторное поле $\xi (x)$ задано в окрестности точки $x_0\in {ℝ}^n$, являющейся изолированной особой точкой этого поля, то есть $\xi (x_0)=0$ и при этом $\xi (x)\ne 0$ при всех $x\ne x_0$ из достаточно малой окрестности точки $x_0$. Индексом особой точки $x_0$ (обозначается ${\mathrm{ind}}_{x_0}\xi$) называется степень гауссова отображения $(n-1)$-мерной сферы $S_{\epsilon }^{n-1}$ с центром $x_0\in {ℝ}^n$ достаточно малого радиуса $\epsilon >0$, выбранной так, что поле $\xi$ на ней не обращается в нуль, в сферу $S_1^{n-1}$. Именно, гауссово отображение $f_{x_0}:S_{\epsilon }^{n-1}\to S_1^{n-1}$ определено по формуле: $f_{x_0}(x)=\frac{\xi (x)}{|\xi (x)|}\mathrm{\forall }x\in S_{\epsilon }^{n-1}.$

Свойства и примеры

Особая точка $x_0$ векторного поля $\xi (x)$ называется невырожденной, если в ней выполнено условие

$\mathrm{\Delta }=\det \left(\frac{\partial {\xi }^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}{|}_{x=x_0}\right)\ne 0.$

Невырожденная особая точка всегда является изолированной, и её индекс равен знаку определителя $\mathrm{\Delta }$.

Шаблон:ЯкорьСобственные значения ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ приведённой выше матрицы (матрицы линейной части поля в данной точке) называются корнями невырожденной особой точки. Для градиентных полей ${\xi }^{\alpha }=\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha }}$ индекс невырожденный особой точки совпадает со знаком гессиана:

${\mathrm{ind}}_{x_0}\xi =\mathrm{sgn}\left|\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}{|}_{x=x_0}\right)\right|=(-1{)}^{i(x_0)}$,

где $i(x_0)$ — количество отрицательных квадратов в каноническом представлении квадратичной формы $d^{2}f{|}_{x=x_0}$.

В двумерном евклидовом пространстве индекс невырожденных особых точек, образующих центр (все корни — мнимые), узел (все корни — вещественные одного знака), фокус (корни комплексно сопряжены) — равен $1$, для седловых точек (вещественные корни разных знаков) — индекс равен $-1$.

См. также

• Индекс критической точки
• Теорема Пуанкаре о векторном поле
• Теорема о причёсывании ежа

Литература

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Любое издание.
• Шаблон:Книга
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
• Шаблон:Книга