Коллинеарность

Два коллинеарных противоположно направленных вектора

Коллинеа́рность (от Шаблон:Lang-la — совместность и Шаблон:Lang-la — линейный) — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены (сонаправлены) или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют антиколлинеарными, или антипараллельными).

Основное обозначение — $\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$; сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются как $\overrightarrow{a}\upuparrows \overrightarrow{b}$, противоположно направленные — $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$.

Свойства

• Отношение коллинеарности рефлексивно ($\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}$).
• Отношение коллинеарности симметрично ($\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}$).
• Отношение коллинеарности ненулевых векторов транзитивно: если $\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b},\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$, то $\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}$.
• Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
• Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
• Если $\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$, то существует действительное число $\lambda$ такое, что $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$ (причём $\lambda >0$, если векторы сонаправлены, и $\lambda <0$, если они противонаправлены). Это соотношение также может служить критерием коллинеарности.
• Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
• Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0. На плоскости два неколлинеарных вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ образуют базис. Это значит, что любой вектор $\overrightarrow{c}$ можно представить в виде: $\overrightarrow{c}=x_1\overrightarrow{a}+x_2\overrightarrow{b}$. Тогда $\{x_1,x_2\}$ будут координатами $\overrightarrow{c}$ в данном базисе.
• Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин (взятых со знаком «минус», если векторы противоположно направлены).
• Векторное произведение коллинеарных векторов равно 0 — необходимое и достаточное условие коллинеарности.

Обобщения

Критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой.