Кольцо когомологий

В алгебраической топологии, кольцо когомологий топологического пространства X — это N-градуированное кольцо, составленное из групп когомологий пространства с $⌣$-произведением (произведением Колмогорова — Александера) в качестве умножения в кольце:

$H^{\bullet }(X;R)=\underset{k\in \mathbb{N}}{⨁}{H}^k(X;R),$

где коэффициенты берутся в коммутативном кольце R (как правило в качестве R берут Z_n, Z, Q, R или C). Здесь под когомологиями как правило понимают сингулярные когомологии. Кольцо когомологий представляет собой важнейший топологический инвариант: непрерывное отображение топологических пространств $X\to Y$ индуцирует гомоморфизм колец $H^{\bullet }(Y;R)\to H^{\bullet }(X;R)$.

Особенно важной вехой в развитии топологии по многим причинам оказался 1935 год. В сентябре 1935 года в Москве состоялась «Шаблон:Iw». Независимые друг от друга доклады Дж. Александера, И. И. Гордона и А. Н. Колмогорова, прочитанные на этой конференции, положили начало теории когомологий. Конструкция умножения когомологий Шаблон:Nobr отличалась от конструкций Дж. Александера и А. Н. Колмогорова, которые были идентичны. Несколько позднее изоморфизм колец Гордона и Александера-Колмогорова был доказан [[Фройденталь, Ханс|Шаблон:Nobr]].

Примеры

• ${\mathrm{H}}^{\ast }(ℝP^n;{𝔽}_2)={𝔽}_2[\alpha ]/({\alpha }^{n+1})$, где $|\alpha |=1$.
• ${\mathrm{H}}^{\ast }(ℝP^{\mathrm{\infty }};{𝔽}_2)={𝔽}_2[\alpha ]$, где $|\alpha |=1$.
• ${\mathrm{H}}^{\ast }(ℂP^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]/({\alpha }^{n+1})$, где $|\alpha |=2$.
• ${\mathrm{H}}^{\ast }(ℂP^{\mathrm{\infty }};\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]$, где $|\alpha |=2$.
• ${\mathrm{H}}^{\ast }(ℍP^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]/({\alpha }^{n+1})$, где $|\alpha |=4$.
• ${\mathrm{H}}^{\ast }(ℍP^{\mathrm{\infty }};\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]$, где $|\alpha |=4$.

Литература

• Gordon I. I. On intersection invariants of a complex and its complementary space. Ann. of Math. 37:3 (1936). 519―525.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Письма Л.С.Понтрягина И.И.Гордону