Лемма Бореля — Кантелли

Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей — это результат, касающийся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Первая лемма

Пусть дано вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ и последовательность событий $\{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset ℱ$. Обозначим

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{A}_n\equiv \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcup _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_m\right)$.

Тогда если ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\left(A_n\right)$ сходится, то $\mathbb{P}(A)=0$.

Вторая лемма

Если все события $\{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ совместно независимы, и ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\left(A_n\right)$ расходится, то $\mathbb{P}(A)=1$.

Замечание

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий не требуется.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Закон нуля или единицы;
• Теорема о бесконечных обезьянах;
• Борель, Эмиль;
• Шаблон:Iw
• Шаблон:Iw

Ссылки

• Шаблон:Springer