Матрица сопротивлений

Шаблон:TOC RightМатрица сопротивлений — матрица, применяемая для описания устройств СВЧ, связывающая линейной зависимостью комплексные амплитуды напряжений и силы тока в клеммных плоскостях эквивалентного многополюсника:

$Z=\left(\begin{array}{cccc}{z}_{11},& z_{12},& \cdots & z_{1N}\\ z_{21},& z_{22},& \cdots & z_{2N}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{N1},& z_{N2},& \cdots & z_{NN}\end{array}\right)$

Устройство СВЧ как многополюсник

Описание устройства СВЧ может производиться без учёта его внутренней структуры и геометрии. Для инженерного расчёта любое линейное пассивное устройство может быть представлено в виде «чёрного ящика» — многополюсника, каждая пара клемм которого представляет определённый тип волн во всех линиях передачи, подключённых к этому устройству. На каждом входе эквивалентного многополюсника можно определить комплексные амплитуды напряжения и силы тока. Чаще всего ток и напряжение определяют через поперечные составляющие электрического и магнитного поля волны, распространяющейся в линии:

$E_n=u_n{e}_n$

$H_n=i_n{h}_n$

Здесь $e_n$ и $h_n$ — собственные функции поперечных составляющих основных волн в n-входной линии. Напряжения $u_n$ и токи $i_n$ входят в нормированной форме:

$u_n=U_n/\sqrt{W_n}$ [Вт^½]

$i_n=I_n\sqrt{W_n}$ [Вт^½]

$W_n$ — характеристическое сопротивление основной волны в линии. Напряжение и ток в линии могут быть выражены через падающую и отражённую волны:

$u_n=a_n+b_n$

$i_n=a_n-b_n$

Падающая и отражённая волны также входят в нормированной форме и измеряются в Вт^½.

$a_n=\sqrt{P_{nin}}{e}^{i{\phi }_{nin}}$

$b_n=\sqrt{P_{nout}}{e}^{i{\phi }_{nout}}$

Матричное уравнение

Представив множества токов и напряжений на всех входах многополюсника в виде векторов, можно записать матричное уравнение связи напряжений и токов:

$u=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right);i=\left(\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\\ ⋮\\ i_n\end{array}\right)$

$u=Zi$

В алгебраической форме запись приобретёт вид

$\{\begin{array}{c}{u}_1=z_{11}{i}_1+z_{12}{i}_2+\dots +z_{1N}{i}_N\\ u_2=z_{21}{i}_1+z_{22}{i}_2+\dots +z_{2N}{i}_N\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ u_N=z_{N1}{i}_1+z_{N2}{i}_2+\dots +z_{NN}{i}_N\end{array}$

Физический смысл

Чтобы выяснить физический смысл элементов матрицы сопротивлений, необходимо организовать специальный тестовый режим измерения токов и напряжений многополюсника, называемый режимом холостого хода (Х.Х.).

Смысл диагональных элементов (z_nn) матрицы сопротивлений станет ясен, если создать электрический ток i_n ≠ 0 (подключить источник тока к n-му входу многополюсника) и создать режим Х.Х. на всех прочих входах (то есть разомкнуть все прочие k = 1...N, k ≠ n входы многополюсника). В этом случае сила тока i_k на k-х (разомкнутых) входах будет равна нулю, а напряжение и сила тока для n-го входа будут связаны законом Ома: u_n = z_nni_n. Из выражения видно, что каждый n-й диагональный элемент матрицы рассеяния имеет тот же смысл, что и электрическое сопротивление n-го входа при условии одновременного Х.Х. на всех прочих входах.

В рассмотренном тестовом режиме напряжения на всех (n-м и k-х) входах не будут равны нулю, они будут пропорциональны силе тока i_n, создаваемого подключённым к n-му входу источником: u_k = z_kni_n, k = 1, ... , n, ... , N. Из этого выражения видно, что все элементы матрицы рассеяния служат коэффициентами пропорциональности между силой тока i_n в n-м входе и напряжением u_k на k-м входе и имеют размерность электрического сопротивления (Ом). Диагональные элементы называют собственными сопротивлениями входов, внедиагональные — вносимыми сопротивлениями (вносимыми в k-й вход из n-го входа, первый индекс — "куда", второй — "откуда"). Эти названия подчёркивают тот факт, что в общем случае, при протекании тока по всем N входам многополюсника, напряжение u_n на каждом n-м входе зависит не только от силы тока i_n в этом входе (u_n пропорционально i_n, коэффициент пропорциональности — собственное сопротивление z_nn), но и от силы тока i_k во всех прочих входах (u_n пропорционально также и i_k, коэффициент пропорциональности — вносимое сопротивление z_nk). То есть напряжение на каждом входе не только зависит от "собственного" источника тока, но и "вносится" (наводится, получает добавку, зависит, изменяется) за счет протекания тока во всех прочих входах в силу наличия электрических межсоединений во внутренней электрической схеме многополюсника.

Таким образом, в целом матрица сопротивлений и матричное уравнение, связывающее напряжения и токи на входах многополюсника, являются обобщением закона Ома для участка цепи (то есть для двухполюсника) на случай многополюсника.

См. также

• Матрица рассеяния
• Матрица проводимостей
• Классическая матрица передачи
• Волновая матрица передачи

Литература

• Шаблон:Книга