Модель мультипликатора-акселератора

Модель мультипликатора-акселератора или модель Самуэльсона-Хикса — динамическая экономическая модель (модель экономических циклов), связывающая экономические циклы с взаимодействием мультипликатора инвестиций (больший рост выпуска по сравнению с вызвавшим его ростом инвестиций) и акселератора (увеличение инвестиций, индуцированное ростом выпуска).

Описание модели

Модель потребительских расходов:

$C_t=a_c+b_C{Y}_{t-1}$

где $a_C>0$ — автономное потребление; $b_C$-склонность к потреблению, $0<b_C<1$.

Модель инвестиций:

$I_t=a_I+b_I(Y_{t-1}-Y_{t-2})$

где $a_I$ — автономные инвестиции, $b_I$ — акселератор, определяющий индуцированные инвестиции.

Модель государственных расходов и чистого экспорта

$G_t+N{X}_t=a_{GNX}=const$

Тождество дохода (равновесие на рынке товаров и услуг):

$Y_t=C_t+I_t+G_t+N{X}_t$

Подставив модель потребительских расходов и индуцированных инвестиций в условие равновесия получим следующее динамическое уравнение:

$Y_t=a_C+a_I+a_{GNX}+(b_C+b_I)Y_{t-1}-b_I{Y}_{t-2}=a+(b_C+b_I)Y_{t-1}-b_I{Y}_{t-2}$

В стационарном состоянии $Y_t=Y_{t-1}=Y_{t-2}=Y^{*}$, поэтому

$Y^{*}=\frac{a}{1-b_C}$

Введем в рассмотрение отклонения выпуска от стационарного уровня $\mathrm{\Delta }Y=Y-Y^{*}$. Тогда подставив $Y=Y^{*}+\mathrm{\Delta }Y$ в уравнение динамики выпуска получим следующее динамическое уравнение для отклонений от стационарного выпуска:

$\mathrm{\Delta }{Y}_t=(b_C+b_I)\mathrm{\Delta }{Y}_{t-1}-b_I\mathrm{\Delta }{Y}_{t-2}$

Это однородное конечно-разностное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет вид:

${\lambda }^2-(b_C+b_I)\lambda +b_I=0$

Если дискриминант этого уравнения равен нулю, то имеем единственный корень $\lambda =\sqrt{b_I}$ решение конечно-разностного уравнения имеет вид:

$\mathrm{\Delta }{Y}_t=\alpha {\lambda }^t+\beta t{\lambda }^t$

В противном случае решение имеет вид:

$\mathrm{\Delta }{Y}_t=\alpha {\lambda }_1^t+\beta {\lambda }_2^t$

В случае действительных корней (как в случае одного корня, так и двух) это означает, что либо имеет место монотонное экспоненциальное приближение к равновесному уровню (характеристические корни меньше единицы), либо выпуск бесконечно растет экспоненциально (корни больше единицы).

В случае комплексных корней — они являются сопряженными вместо монотонной динамики имеет место циклическая. В самом деле, если комплексные корни равны $\lambda =\rho e^{\pm i\omega }$ ($\rho =\sqrt{b_I}$), то ${\lambda }^t={\rho }^t{e}^{\pm i\omega t}={\rho }^t(\cos \omega t\pm i\sin \omega t)$. Таким образом, решение в случае комплексных корней имеет вид:

$\mathrm{\Delta }{Y}_t=b_I^{t/2}({\alpha }_0\cos \omega t+{\beta }_0\sin \omega t)$

Таким образом, имеем затухающий циклический процесс (если акселератор меньше единицы) или циклический процесс с возрастающей амплитудой (если акселератор больше единицы). Регулярный циклический процесс имеет место только в исключительно случае, когда акселератор равен единице.

См. также

Экономический цикл

Экономические модели