Неполная гамма-функция

Неполная гамма-функция — одна из специальных функций, определяющаяся по аналогии с гамма-функцией, но с введением второй вещественной переменной с ограничением ей одного пределов интегрирования:

$\mathrm{\Gamma }(z,x)={\int }_x^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$ (верхняя неполная гамма-функция) и

$\gamma (z,x)={\int }_0^x{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$ (нижняя неполная гамма-функция).

от комплексной переменной $z$ и вещественной $x$.

Гамма-функция от одного комплексного аргумента определяется как интеграл от нуля до бесконечности, таким образом, имеется следующая связь с неполными гамма-функциями:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(z,0)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\gamma (z,x)$,

$\gamma (z,x)+\mathrm{\Gamma }(z,x)=\mathrm{\Gamma }(z)$.

По аналогии с гамма-функцией, имеют место рекуррентные соотношения:

$\mathrm{\Gamma }(z+1,x)=z\mathrm{\Gamma }(z,x)+x^z{e}^{-x}$,

$\gamma (z+1,x)=z\gamma (z,x)-x^z{e}^{-x}$.