Неравенство Белла — Клаузера — Хорна — Шимони

Неравенство Белла — Клаузера — Хорна — Шимони, неравенство CHSH — неравенство, задающее свойство корреляции четырёх случайных величин.Шаблон:Sfn Для составной квантовой системы при помощи этого неравенства доказывается несовместимость её классического описания в соответствии с принципом локальности c предсказывемыми квантовой теорией и наблюдаемыми на опыте значениями коррелированности между данными измерений её подсистем (теорема Белла),Шаблон:SfnШаблон:Sfn Получило наименование неравенство CHSH в честь Джона Клаузера, Майкла Хорна, Абнера Шимони и Ричарда Холта, которые вывели его в 1969 году. Это неравенство, которое, как и исходное неравенство Джона Стюарта Белла, обязательно истинно, если существуют локальные скрытые переменные, предположение, которое иногда называют локальный реализм.Шаблон:Sfn На практике это неравенство нарушается современными экспериментами в области квантовой механики.

Формулировка и доказательство

Пусть $X_j,Y_k,j,k=1,2$ — случайные величины на произвольном вероятностном пространстве $\mathrm{\Omega }$ такие, что $\left|X_j\right|⩽1,\left|Y_k\right|⩽1$. Тогда для любого распределения вероятностей $P$ на $\mathrm{\Omega }$ корреляция этих величин удовлетворяет неравенству $|𝔼X_1{Y}_1+𝔼X_1{Y}_2+𝔼X_2{Y}_1-𝔼X_2{Y}_2|⩽2$, где $𝔼$ - математическое ожидание, соответствующее распределению $P$.Шаблон:Sfn

Доказательство исходит из неравенства: $|X_1{Y}_1+X_1{Y}_2+X_2{Y}_1-X_2{Y}_2|⩽|Y_1+Y_2|+|Y_1-Y_2|⩽2\max \{\left|Y_1\right|,\left|Y_2\right|\}$

Из него следует неравенство $-2⩽X_1{Y}_1+X_1{Y}_2+X_2{Y}_1-X_2{Y}_2⩽2$

Усредняя его по распределению $P$, получаем искомое неравенство.Шаблон:Sfn

См. также

• Теорема Белла

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга