Ограниченный оператор

Оператор $A:X\to Y$ называется ограниченным, если каждое ограниченное множество исходного топологического векторного пространства $X$ он переводит в ограниченное множество топологического векторного пространства $Y$.

Приведённое выше определение относится как к линейным, так и к нелинейным операторам.

Линейный ограниченный оператор

Определения

Для линейного оператора часто приводят другие определения:

• Будем называть линейный оператор $A:X\to Y$ ограниченным, если существует такая окрестность нуля $U$, что $A(U)$ является ограниченным множеством в $Y$.
• Будем называть линейный оператор $A:X\to Y$ в нормированном пространстве ограниченным, если существует такое положительное число $C$, что $\Vert Ax\Vert \le C\Vert x\Vert$. Наименьшее из таких чисел $C$ обозначают через $\Vert A\Vert$ и называют нормой оператора $A$. Иными словами,

$\Vert A\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Ax\Vert$

Свойства в F-пространствах

Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха.

• Справедлива теорема о том, что линейный ограниченный оператор, действующий из одного F-пространства в другое является непрерывным.
• Обратно (Теорема Банаха), всякий непрерывный оператор является ограниченным.

Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор.