Правило Руффини

Правило Руффини — эффективная техника деления многочлена на бином вида $x-r.$ В 1804 году её описал Паоло Руффини. Правило Руффини — частный случай синтетического деления, когда делитель является линейным.

Алгоритм

Правило устанавливает метод для деления многочлена

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

на бином

$Q(x)=x-r$

для получения частного

$R(x)=b_{n-1}{x}^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_0$;

На самом деле алгоритм осуществляет деление столбиком P(x) на Q(x).

Для того, чтобы поделить P(x) на Q(x) согласно данному алгоритму, нужно

1. Взять коэффициенты P(x) и записать их по порядку. Затем записать r слева, непосредственно над линией:

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \end{array}$

2. Спустить крайний левый коэффициент (a_n) вниз, сразу под линию:

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

3. Умножить крайнее правое число под линией на r и записать следующим его над линией:

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}r& & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

4. Сложить два значения, расположенные в одном столбце:

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}r& & & \\ & a_n& a_{n-1}+(b_{n-1}r)& & & \\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& & & \end{array}$

5. Повторять шаги 3 и 4 пока есть числа:

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}r& & & \\ & a_n& a_{n-1}+(b_{n-1}r)& \cdots & a_1+b_{1}r& a_0+b_{0}r\\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& \cdots & =b_0& =s\end{array}$

Числа b_i являются коэффициентами частного (R(x)), степень которого на единицу меньше, чем степень P(x). Последнее полученное значение s - это остаток. Согласно теореме Безу, этот остаток равен P(r).

Использование

Деление на многочлен x - r

Рабочий пример деления многочленов по алгоритму, описанному выше.

Пусть:

$P(x)=2x^3+3x^2-4,$

$Q(x)=x+1.$

Мы хотим найти $P(x)/Q(x)$ используя правило Руффини. Основная проблема в том, что $Q(x)$ это не бином вида $x-r,$, а скорее $x+r.$ Мы должны переписать его так:

$Q(x)=x+1=x-(-1).$

Теперь применяем алгоритм:

1. Выписываем коэффициенты и число $r.$ Заметим, что поскольку $P(x)$ не содержит коэффициента $x^1,$ мы записываем 0:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

2. Спускаем первый коэффициент:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & & & \\ & 2& & & \end{array}$

3. Умножаем последнее полученное значение $r:$

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& & \\ & 2& & & \end{array}$

4. Складываем значения:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& & \\ & 2& 1& & \end{array}$

5. Повторяем шаги 3 и 4:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& -1& 1\\ & 2& 1& -1& -3\end{array}$

$2,1,-1$ — коэффициенты частного,

$-3$ — остаток.

Итак, поскольку исходное число = делитель × частное + остаток, тогда

$P(x)=Q(x)R(x)+s$, где

$R(x)=2x^2+x-1,s=-3;\Rightarrow 2x^3+3x^2-4=(2x^2+x-1)(x+1)-3.$

Ссылки

• Шаблон:MathWorld