Признак совпадения пределов

Признак совпадения пределов. Если существуют двойной предел и при каждом $n$ предел $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_{n,m}$, то повторный предел существует и совпадает с двойным:

$\underset{n,m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_{n,m}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_{n,m}.(*)$

Доказательство

Если $\epsilon >0,$ то для достаточно больших $n$ и $m$ выполняется $s-\epsilon ⩽s_n$_$m$$⩽s+\epsilon .$ Перейдём в этом неравенстве к пределу при $m\to \mathrm{\infty }$ и получим $s-\epsilon ⩽\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n$_$m$$⩽s+\epsilon .$ Откуда и следует $(*).$

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.