Рационализируемость

Шаблон:Концепция решения Рационализируемость (Шаблон:Lang-en) — концепция решения в теории игр. Концепция задумана как набор минимальных ограничений, при которых игроки остаются рациональными и имеет место общее знание о рациональности каждого из участников. Иными словами, имеют место рациональность и общая вера в рациональность. В частности, концепция менее требовательна, чем равновесие Нэша, и совокупность равновесий в игре является подмножеством множества рационализируемых решений. Обе концепции требуют от игроков рационального (оптимального для них) ответа в рамках определённой веры относительно поведения соперников, однако концепция Нэша требует, чтобы веры были обоснованы, концепция рационализируемости — нет. Концепция возникла в 1984 году в работах Дугласа Бернхейма и Дэвида Пирса,

Определение

Пусть имеется игра $(I,(S_i,u_i{)}_{i\in I})$, где $I$ соответствует множеству игроков, $S_i$ — множеству стратегий игрока i, $u_i$ — полезности игрока i. Пусть $S_i^0=S_i\mathrm{\forall }i$, то есть для каждого из игроков определено множество стратегий нулевой «итерации». Индуктивно определяются множества стратегий следующих «итераций», $S_i^{m+1}\mathrm{\forall }m\ge 0$, куда включены стратегии, являющиеся лучшими ответами на предположения ${\sigma }_{-i}\in \mathrm{\Delta }(S_{-i}^m)$, где обозначение «-i» соответствует объектам, относящимся ко всем игрокам за исключением i-го. Множество

$S_i^{\mathrm{\infty }}={\cap }_{m\ge 0}{S}_i^m$

является множеством рационализируемых стратегий игрока i.

Неформально идею концепции можно изложить следующим образом. На «нулевом» шаге — шаги проделываются мысленно и априори, поскольку ходы делаются одновременно — определяется исходное множество стратегий, совпадающее с множеством всех доступных игроку стратегий. Затем из исходного множества удаляются все те стратегии, которые не являются оптимальными ни при какой вере о действиях оппонентов. Именно здесь прослеживается понятие о рациональности игрока: будучи рациональным, он никогда не использовал бы стратегию, выигрыш от которой не был бы максимальным. Затем происходит итеративное удаление стратегий, которые субоптимальны (также при любой вере) уже в новых условиях — в отсутствие действий, удалённых их исходного множества на предыдущем шаге. На этом месте проявляется общее знание о рациональности каждого из участников: они никогда не изберут субоптимальную стратегию, поэтому рассматривать их в дальнейшем не имеет смысла. Процедура продолжается до тех пор, пока набор стратегий не стабилизируется, то есть новые итерации не приведут к удалению каких-либо действий. Если множества стратегий конечны, процедура в какой-то момент останавливается, позволяя получить непустое множество стратегий для каждого игрока. Они и называется рационализируемыми.

Рационализируемость и строгое доминирование

Рационализируемость связана с понятием строго доминирования. Стратегия называется строго доминируемой, если существует смешанная стратегия ${\sigma }_i\in \mathrm{\Delta }(S_i)$ такая, что

$u_i({\sigma }_i,s_{-i})>u_i(s_i,s_{-i})\mathrm{\forall }{s}_{-i}\in S_{-i}$

Известно, что при компактности множеств стратегий и непрерывности функций выигрыша стратегия строго доминируема, если не является лучшим ответом на какую бы то ни было веру о поведении оппонента. Следовательно, множество рационализируемых стратегий является ещё и продуктом итеративного исключения строго доминируемых стратегий.

Литература

• Bernheim, D. (1984) Rationalizable Strategic Behavior. Econometrica 52: 1007-1028.
• Dekel, E., Siniscalchi M. (2014) Epistemic game theory.
• Fudenberg, Drew and Jean Tirole (1993) Game Theory. Cambridge: MIT Press.
• Pearce, D. (1984) Rationalizable Strategic Behavior and the Problem of Perfection. Econometrica 52: 1029-1050.
• Ratcliff, J. (1992–1997) lecture notes on game theory, §2.2: "Iterated Dominance and Rationalizability"