Строго хордальный граф

Неориентированный граф G называется строго хордальным, если он является хордальным и любой цикл чётной длины ( $⩾ 6$ ) в G имеет нечётную хорду, то есть ребро, которое соединяет две вершины цикла на нечётном расстоянии (>1) друг от другаШаблон:Sfn.

Описание

Строго хордальные графы имеют описание запрещёнными графами как графы, не содержащие пророждённого цикла длиной более трёх или n-солнца ( $n ⩾ 3$ ) в качестве порождённого подграфа Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. n-Солнце — это хордальный граф с 2n вершинами, разделёнными на два подмножества $U = {u_{1}, u_{2}, \dots}$ и $W = {w_{1}, w_{2}, \dots}$ так, что каждая вершина w_i из W имеет ровно два соседа, u_i и $u_{(i + 1) mod n}$ . n-Солнце не может быть строго хордальным, поскольку цикл $u_{1} w_{1} u_{2} w_{2}$ … не имеет нечётных хорд.

Строго хордальные графы могут быть описаны как графы, имеющие строгий совершенный порядок исключения, порядок вершин, такой, что соседи любой вершины, которые идут в порядке позже, образуют клику, и такой, что для любых $i < j < k < l$ , если i-ая вершина в порядке смежна с k-ой и l-ой вершиной, а j-ая и k-ая вершины смежны, то должны быть смежны и j-ая, и l-ая вершиныШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Граф строго является хордальным тогда и только тогда, когда любой из его порождённых подграфов имеет простую вершину, то есть вершину, соседи которой линейно упорядочены по порядку включенияШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Также граф строго хордален тогда и только тогда, когда он хордален и любой цикл длины пять и более имеет 2-хордовый треугольник, то есть треугольник, образованный двумя хордами и ребром циклаШаблон:Sfn.

Граф является строго хордальным тогда и только тогда, когда любой из его порождённых подграфов является двойственно хордальным графом Шаблон:Sfn.

Строго хордальные графы могут быть описаны в терминах числа полных подграфов, которым ребро принадлежитШаблон:Sfn. Ещё одно описание дано в статье Де Кариа и МаккиШаблон:Sfn.

Распознавание

Можно определить, является ли граф строго хордальным, за полиномиальное время путём повторяемого поиска и удаления простой вершины. Если этот процесс исключает все вершины графа, граф должен быть строго хордален. В противном случае процесс не находит подграф без простой вершины и в этом случае исходный граф не может быть строго хордален. Для строго хордального графа порядок, в котором вершины удаляются в этом процессе, называется строгим совершенным порядком исключенияШаблон:Sfn.

Известны альтернативные алгоритмы, которые могут определить, является ли граф строго хордальным и, если да, построить строгий совершенный порядок исключения более эффективно, за время $O (\min (n^{2}, (n + m) \log n))$ для графа с n вершинами и m рёбрамиШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Подклассы

Важным подклассом (основанным на филогении) является класс Шаблон:Mvar-Шаблон:Не переведено 5, то есть графов, образованных из листьев дерева путём соединения двух листьев ребром, если расстояние в дереве не превосходит Шаблон:Mvar. Листовая степень — это граф, являющийся Шаблон:Mvar-листовой степенью для некоторого Шаблон:Mvar. Поскольку степени строго хордальных графов строго хордальны и деревья строго хордальны, отсюда следует, что листовые степени строго хордальны. Они образуют собственный подкласс строго хордальных графов, который, в свою очередь, включает Шаблон:Не переведено 5 как 2-листовые степениШаблон:Sfn. Другим важным подклассом строго хордальных графов являются интервальные графы. В статье Бранштедта, Худта, Манчини и ВагнераШаблон:Sfn показано, что интервальные графы и больший класс корневых ориентированных путей являются листовыми степенями.

Алгоритмические проблемы

Поскольку строго хордальные графы одновременно хордальны и двойственно хордальны, различные NP-полные задачи, такие как задача о независимом множестве, задача о клике, раскраска, задача о кликовом покрытии, доминирующее множество и задача Штейнера о минимальном дереве могут быть решены эффективно для строго хордальных графов. Задача изоморфизма графов GI-полна^[1] для строго хордальных графовШаблон:Sfn. Поиск гамильтоновых циклов остаётся для строго хордальных расщепляемых графов NP-полной задачейШаблон:Sfn.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend Шаблон:Rq

↑ В статье вводится новый класс полноты — Graph Isomorphism completeness

[1] В статье вводится новый класс полноты — Graph Isomorphism completeness

[1]