Теорема Деррика

Теорема Деррика — это фундаментальная теорема, которая гласит, что солитонные решения нелинейных волновых уравнений или уравнения Клейн-Гордона в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.

Формулировка

В работе 1964 г. Г. Деррик проанализировал устойчивость локализованных стационарных решений в различных вариантах теории поля. Он показал, что решения нелинейных волновых уравнений в пространстве трех и больше измерений неустойчивы.

Теорема Деррика формулируется следующим образом: Пусть ${\varphi }_a$ скалярное поле и $L$ - плотность лагранжиана этого скалярного поля, а плотность энергии $ϵ={ϵ}_4+{ϵ}_2+{ϵ}_0$ где:

${ϵ}_0=g(\mathrm{\Phi })$

${ϵ}_2=||{\partial }_j\mathrm{\Phi }|{|}^2$

${ϵ}_4=f(\mathrm{\Phi }){\partial }_j{\varphi }^a{\partial }_k{\varphi }^b{\partial }_l{\varphi }^c{\partial }_m{\varphi }^d{M}_{abcd}^{jklm}(\mathrm{\Phi })$

Здесь $g$ и $M$ такие гладкие отображения $P\to C$, что соответствующие интегралы $E_2,E_4,E_0$ конечны и положительны. Тогда плотность Лагранжиана не имеет стационарных локализованных стабильных решений, если

$(2-D)E_2+(4-D)E_4-D{E}_0\ne 0$

Это приводит к уравнению, которое называется вириальной теоремой для солитонов

$\left(\frac{d}{d\lambda }{E}_{\lambda }\right){|}_{\lambda =1}=(2-D)E_2+(4-D)E_4-D{E}_0=0$