Теорема о перестановке ряда

Теорема о перестановке ряда: Шаблон:Теорема

Доказательство

Далее $m_k=\phi (k)$, где $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$— перестановка натурального ряда.

Если ряд $\sum a_k$ положительный, то

$\sum _{k=1}^n{a}_{m_k}$$⩽\sum _{k=1}^N{a}_k,$

где $N=max\{m_1,m_2,\mathrm{...},m_n\},$ и поэтому

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{m_k}$$⩽\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k.$

Следовательно, перестановка ряда не увеличивает суммы, а так как ряд $\sum a_k$ в свою очередь является перестановкой ряда $\sum a_{m_k}$, то обе суммы совпадают.
Если ряд $\sum a_k$ знакопеременный, то на основании первой части доказательства

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{m_k}$$=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{m_k}$$-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{m_k}$$=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k.$

См. также

• Теорема Римана об условно сходящихся рядах — противоположный результат для условно сходящихся рядов.

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.