Теорема о прямолинейных образующих однополостного гиперболоида

Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две различные прямые, целиком расположенные на этой поверхности.

Доказательство

Рассмотрим прямые $L_1$ и $L_2$, заданные как линии пересечения плоскостей:

$L_1:\alpha (\frac{x}{a}-\frac{z}{c})=\beta (1-\frac{y}{b});\beta (\frac{x}{a}+\frac{z}{c})=\alpha (1+\frac{y}{b});{\alpha }^2+{\beta }^2\ne 0$

$L_2:\gamma (\frac{x}{a}-\frac{z}{c})=\delta (1+\frac{y}{b});\delta (\frac{x}{a}+\frac{z}{c})=\gamma (1-\frac{y}{b});{\gamma }^2+{\delta }^2\ne 0$

Прямые $L_1$ и $L_2$ целиком лежат на поверхности (чтобы убедиться в этом, достаточно почленно перемножить уравнения плоскостей). При этом через каждую точку $M_0(X_0,Y_0,Z_0)$ поверхности проходит единственная прямая из семейства $L_1$ и единственная прямая из семейства $L_2$. Эти прямые (то есть пары чисел $\alpha ,\beta$ и $\gamma ,\delta$) находятся из однородных систем линейных алгебраических уравнений:

$\alpha ,\beta :\alpha (\frac{X_0}{a}-\frac{Z_0}{c})=\beta (1-\frac{Y_0}{b});\beta (\frac{X_0}{a}+\frac{Z_0}{c})=\alpha (1+\frac{Y_0}{b})$

$\gamma ,\delta :\gamma (\frac{X_0}{a}-\frac{Z_0}{c})=\delta (1+\frac{Y_0}{b});\delta (\frac{X_0}{a}+\frac{Z_0}{c})=\gamma (1-\frac{Y_0}{b})$

матрицы которых вырождены (то есть системы имеют нетривиальные решения) и имеют ранг, равный 1 (то есть все решения каждой из систем пропорциональны и определяют единственную прямую). Остается добавить, что прямые не совпадают (достаточно проверить неколлинеарность их направляющих векторов).

См. также

• Гиперболоид