Уравнение Кэли — Дарбу

Уравнение Кэли — Дарбу́ — дифференциальное уравнение с частными производными третьего порядка, которому должна удовлетворять функция $u(x_1,x_2,x_3)$ для того, чтобы семейство поверхностей $u(x_1,x_2,x_3)=const$ могло быть дополнено до трижды ортогональной системы поверхностей.

Получены Артурoм Кэли и Гастоном Дарбу.

Формулировка

Уравнение Кэли — Дарбу может быть записано как равенство нулю следующего определителя:

$\left|\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{22}& c_{33}& 2c_{12}& 2c_{23}& 2c_{31}\\ u_{11}& u_{22}& u_{33}& 2u_{12}& 2u_{23}& 2u_{31}\\ 1& 1& 1& 0& 0& 0\\ u_1& 0& 0& u_2& 0& u_3\\ 0& u_2& 0& u_1& u_3& 0\\ 0& 0& u_3& 0& u_2& u_1\end{array}\right|=0,$

где

$c_{\alpha \beta }=\sum _{k=1}^3(u_k{u}_{\alpha \beta k}-2u_{\alpha k}{u}_{\beta k})$ ,

a

$u_k=u_{x_k},\cdots ,u_{\alpha \beta \gamma }=u_{x_{\alpha }{x}_{\beta }{x}_{\gamma }}$ .