Уравнение Монжа — Ампера

Уравнение Монжа — Ампера — дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка вида

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}-{\left(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}\right)}^2=a\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+2b\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+c\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}+\varphi ,$

коэффициенты которого зависят от переменных $x$, $y$, неизвестной функции $z(x,y)$ и её первых производных $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}.$

История

Уравнения такого типа впервые рассматривались Монжем (1784) и Ампером (1820).

Применение

• Уравнение Монжа — Ампера на $z=z(x,y)$ описывает, например, графики функций с данным значением гауссовой кривизны $\kappa =\kappa (x,y)$.
• Доказательство гипотезы Калаби.

Вариации и обобщения

• Транспортная задача.

Литература

• Шаблон:Книга